Solution YY的GCD
题目大意:求(sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j) ext{是素数}])
莫比乌斯反演
解析：
首先我们定义函数(f(x) = egin{cases}1 & ext{x是素数} \ 0 & ext{其他情况}end{cases})
我们要求的就是：
(sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}f(gcd(i,j)))
然后(d mid gcd(i,j) Longleftrightarrow d | i,d|j)
假设我们找到了一个函数(g)，满足：
[f(x)=sum_{dmid x}g(x)
]
那么
[egin{aligned} ans&=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}sum_{dmid i,dmid j}g(d) \ &= sum_{d=1}^{min(n,m)}g(d)sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}[d mid i][d mid j] \ &= sum_{d=1}^{min(n,m)}g(d){lfloor frac{n}{d}
floor lfloor frac{m}{d}
floor}end{aligned}
]
假如我们预处理出(g)的前缀和，利用整除分块我们便可以快速求出整个式子的值
我们尝试着把(g)表示出来
[f = g * 1 Longleftrightarrow g = f * mu
]
[egin{aligned}g(x)&=sum_{d mid x}[x ext{是素数}]mu(frac{x}{d}) \ &= sum_{p mid x}mu(frac{x}{p}) quad ext{p是素数}end{aligned}
]
求(g)我们可以筛出(mu)，然后枚举每一个素数，计算它的贡献
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e7 + 100;
int g[maxn],mu[maxn],vis[maxn];
inline int query(int a,int b){return g[b] - g[a - 1];}
vector<int> pri;
inline void init(){
mu[1] = 1;
for(int i = 2;i <= maxn;i++){
if(!vis[i]){
pri.push_back(i);
mu[i] = -1;
}
for(int x : pri){
if(i * x >= maxn)break;
vis[i * x] = 1;
if(i % x){
mu[i * x] = mu[i] * mu[x];
}else{
mu[i * x] = 0;
break;
}
}
}
for(int x : pri)
for(int i = 1;i * x < maxn;i++)
g[i * x] += mu[i];
for(int i = 1;i < maxn;i++)g[i] += g[i - 1];
}
int t,n,m;
inline void solve(){
cin >> n >> m;
ll ans = 0;
for(int l = 1,r;l <= min(n,m);l = r + 1){
r = min(n / (n / l),m / (m / l));
ans += (ll)query(l,r) * (n / l) * (m / l);
}
cout << ans << '
';
}
int main(){
init();
cin >> t;
while(t--)solve();
return 0;
}