算法题解之math类题

Bulb Switcher

灯泡开关

思路：除了平方数以外，其他所有位置的灯泡最终都被开关了偶数次，因此最终都为0。问题等价于求1~n中平方数的个数。

public class Solution {
    public int bulbSwitch(int n) {
        return (int)Math.sqrt(n);
    }
}

 

Count Primes

质数计数

思路1：暴力法。其中判断每一个数n是不是质数需要验证是否任何小于n的数都不能整除n，这一步是O（n）。因此整体复杂度是O(n^2)。

思路2：思路1的优化版。如果一个数n不是质数，则n = p * q。令 p <= q，则可以推出 p * p <= n，即 p <= √n。因此思路一中只需要判断是否任何小于等于√n都不能整除n。整体时间复杂度变为O(n^1.5)。

public int countPrimes(int n) {
   int count = 0;
   for (int i = 1; i < n; i++) {
      if (isPrime(i)) count++;
   }
   return count;
}

private boolean isPrime(int num) {
   if (num <= 1) return false;
   // Loop's ending condition is i * i <= num instead of i <= sqrt(num)
   // to avoid repeatedly calling an expensive function sqrt().
   for (int i = 2; i * i <= num; i++) {
      if (num % i == 0) return false;
   }
   return true;
}

思路3：埃拉托色尼筛选法：对于当前数i（i要从2开始），把它的倍数2i，3i，4i......都标记为不是质数，然后 i 的下一个没有被标记过的数一定是质数。

优化：（1）如果一个数已经被标记为不是质数了，直接跳过，因为它的倍数之前一定已经标记过了；（2）对于数i，不用从2i开始标记，直接从i * i开始标记（之前的也一定被标记过）。

算法空间复杂度为O(n)，时间复杂度为O(n log log n)。（证明见wiki）

public class Solution {
    public int countPrimes(int n) {
        boolean[] notPrime = new boolean[n];
        int count = 0;
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            if (notPrime[i] == false) {
                count++;
                for (long j = i; i * j < n; j++) {
                    notPrime[(int)(i * j)] = true;
                }
            }
        }
        
        return count;
    }
}

Insert Interval

插入区间

思路：区间类题目。先把区间按照start大小插入进去，然后就就跟排好序的merge intervals一样了。

/**
 * Definition for an interval.
 * public class Interval {
 *     int start;
 *     int end;
 *     Interval() { start = 0; end = 0; }
 *     Interval(int s, int e) { start = s; end = e; }
 * }
 */
public class Solution {
    public List<Interval> insert(List<Interval> intervals, Interval newInterval) {
        List<Interval> res = new ArrayList<Interval>();
        if (intervals == null || intervals.size() == 0) {
            res.add(newInterval);
            return res;
        }
        
        for (int i = 0; i < intervals.size(); i++) {
            if (intervals.get(i).start > newInterval.start) {
                intervals.add(i, newInterval);
                break;
            } else if (i == intervals.size() - 1) {
                intervals.add(newInterval);
                break;
            }
        }
        
        res.add(intervals.get(0));
        for (int i = 1; i < intervals.size(); i++) {
            Interval cur = intervals.get(i);
            Interval last = res.get(res.size() - 1);
            if (cur.start <= last.end) {
                last.end = Math.max(last.end, cur.end);
            } else {
                res.add(cur);
            }
        }
        return res;
        
    }
}

Merge Intervals

合并区间

思路：区间类题目。先把所有区间按照start排好序，把第一个区间加到合并集中。然后遍历之后的每个区间，只需要与合并集中最后一个区间进行比较合并。

/**
 * Definition for an interval.
 * public class Interval {
 *     int start;
 *     int end;
 *     Interval() { start = 0; end = 0; }
 *     Interval(int s, int e) { start = s; end = e; }
 * }
 */
public class Solution {
    public List<Interval> merge(List<Interval> intervals) {
        
        List<Interval> res = new ArrayList<Interval>();

        if (intervals == null || intervals.size() == 0) {
            return res;
        }
        
        Comparator<Interval> c = new Comparator<Interval>() {
            public int compare(Interval i1, Interval i2) {
                return i1.start - i2.start;
            }
        };
        Collections.sort(intervals, c);
        res.add(intervals.get(0));
        for (int i = 1; i < intervals.size(); i++) {
            Interval cur = intervals.get(i);
            Interval last = res.get(res.size() - 1);
            if (cur.start <= last.end) {
                last.end = Math.max(last.end, cur.end);
            } else {
                res.add(cur);
            }
        }
        return res;
    }
}

Power of Three

判断3的次方

思路1：循环或者递归。复杂度O(lgn)

思路2：题目规定不能用loop或者递归。可以调用java的log函数来做。时间仍然是O(lgn)

思路3：求出int中3的次方的最大值，判断max是否能被n整除。时间是O(1)。power of tow，power of four 均与这题类似。

public class Solution {
    public boolean isPowerOfThree(int n) {
        int Max3PowerInt = 1162261467;
        if (n > 0 && n <= Max3PowerInt) {
            if (Max3PowerInt % n == 0) {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
}

Rectangle Area

矩形面积

思路：设矩形1的上下左右边分别为u1,d1,l1,r1，矩形2的上下左右边分别为u2,d2,l2,r2。则两矩形不相交的充要条件是：u1在d2下方 或 u2在d1下方 或 l1在r2右边 或 l2在r1右边。其余情况一定相交。相交面积的求法是：相交矩形的左边是l1和l2其中靠右的边，相交矩形的右边是r1和r2其中靠左的边，相交矩形的上边是u1和u2的靠下的边，相交矩形的下边是d1和d2的靠上的边。

public class Solution {
    public int computeArea(int A, int B, int C, int D, int E, int F, int G, int H) {
        int area1 = (C - A) * (D - B);
        int area2 = (G - E) * (H - F);
        if (A >= G || E >= C || B >= H || F >= D) {
            return area1 + area2;
        }
        
        int w = Math.min(C, G) - Math.max(A, E);
        int h = Math.min(D, H) - Math.max(B, F);
        return area1 + area2 - w * h;
        
    }
}