一、RSA攻击大全
1. 模数分解
- Small q：模数N有小素数因子；
- fermat：模数N的因子p与q非常接近；
- 模不互素：给出多组公钥，但是其中的模数共用了素因子；
2. 针对指数进行攻击
- 小公钥指数攻击：指数很小；
- 低加密指数广播攻击：相同的消息发送给多个接收者，且加密指数较低；
3. 针对私钥进行攻击
- 维纳攻击：指数很大(理论上(d<N^{0.25})此攻击起作用)；
- Boneh-Durfee攻击：同样针对指数很大的情形，理论上(d<N^{0.29})此攻击起作用；
4. Coppersmith相关攻击
Coppersmith算法用于求解模(N)多项式(F(X))((X)为单变量、二元变量甚至多元变量)所有小整数根((ig|Xig|<cN^{eta^{2}/delta})，其中(delta)为多项式(F)的次数，假设(N)具有不小于(N^{eta})的因子)
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明文高位泄露：明文的二进制位表示为(m_{b} cdots m_{t+1}m_{t} cdots m_{1})，其高位(m_{b} cdots m_{t+1})泄露，记(m'=m_{b} cdots m_{t+1}0 cdots 0)，则(m')已知，但(Delta m=m_{t} cdots m_{1})未知；由(c equiv m^{e} extrm{mod} N)，则(Delta m)是模多项式(F(X)=(m'+X)^{e} extrm{mod} N)的小整数根。接下来使用Coppersmith算法求解。
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因子低位泄露：因子的二进制位表示为(p_{b} cdots p_{t+1}p_{t} cdots p_{1})，其高位(p_{b} cdots p_{t+1})泄露，记(p'=p_{b} cdots p_{t+1}0 cdots 0)，则(p')已知，但(Delta p=p_{t} cdots p_{1})未知；由(p cdot q=N)，则(Delta p)是模多项式(F(X)=(p'+X) extrm{mod} N)的小整数根。接下来使用Coppersmith算法求解。
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明文低位泄露：明文的二进制位表示为(m_{b} cdots m_{t+1}m_{t} cdots m_{1})，其低位(m_{t} cdots m_{1})泄露，记(m'=m_{t} cdots m_{1})，则(m')已知，但(Delta m=m_{b} cdots m_{t+1})未知；由(c equiv m^{e} extrm{mod} N)，则(Delta m)是模多项式(F(X)=(m'+2^{t}X)^{e} extrm{mod} N)的小整数根。接下来使用Coppersmith算法求解。
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因子低位泄露：因子的二进制位表示为(p_{b} cdots p_{t+1}p_{t} cdots p_{1})，其低位(p_{t} cdots p_{1})泄露，记(p'=p_{t} cdots p_{1})，则(p')已知，但(Delta p=p_{b} cdots p_{t+1})未知；由(p cdot q=N)，则(Delta p)是模多项式(F(X)=(p'+2^{t}X) extrm{mod} N)的小整数根。接下来使用Coppersmith算法求解。
二、攻击工具
1. RsaCtfTool
GitHub链接：RsaCtfTool
在Ubuntu18.04下的安装RsaCtfTool(进入RsaCtfTool目录下)：
apt install -y libgmp-dev
apt install -y libmpfr-dev
apt install -y libmpc-dev
pip3 install gmpy2 -i https://pypi.douban.com/simple
pip3 install -r requirements.txt -i https://pypi.douban.com/simple
2. yafu
我认为最强大的分解因子的工具。