常用不等式集锦
在数学证明中，不等式常常扮演着重要的角色，我们经常利用一些不等式进行放缩，来求上下界；或者利用不等式和夹逼定理求出一个函数的值等等。为了方便查阅，我在此总结一下常用的不等式。不等式们，快到碗里来吧！
Holder不等式
- 级数形式。设(p>1,1/p+1/q=1,x_k,y_k in C),则有
[sum limits_{k=1}^{+infty}|x_k y_k| le [sum limits_{k=1}^{+infty}|x_k|^p]^{1 over p} [sum limits_{k=1}^{+infty}|y_k|^q]^{1 over q}
]
- 积分形式。设(p>1,1/p+1/q=1,x(t) in L^p(E),y(t) in L^q(E)),则(x(t)y(t) in L^1(E)),而且
[{int_E {|x(t)y(t)|dt le left( {int_E {{{left| {x(t)}
ight|}^p}dt} }
ight)} ^{{1 over p}}}{left( {int_E {{{left| {y(t)}
ight|}^q}dt} }
ight)^{{1 over q}}}
]
Minkowski不等式
- 级数形式。设(1 le p le +infty),则对于任意的复数(x_k,y_k)有
[(sum limits_{k=1}^{+infty}|x_k+y_k|^p)^{1 over p} le (sum limits_{k=1}^{+infty}|x_k|^p)^{1 over p} + (sum limits_{k=1}^{+infty}|y_k|^p)^{1 over p}
]
- 积分形式。设(p ge 1,x(t),y(t) in L^p(E)),则(x(t)+y(t) in L(E)),而且
[(int_E {|x(t)+y(t)|^p dt} )^{1 over p} le ( int_E |x(t)|^pdt ) ^{1 over p}+(int_E |y(t)|^pdt)^{1 over p}
]
Cauchy-Schwarz不等式
设((X,leftlangle { cdot , cdot } ight angle ))是一个内积空间，对于任意的(x,y in X)，恒有
[{left| {leftlangle {x,y}
ight
angle }
ight|^2} le leftlangle {x,x}
ight
angle leftlangle {y,y}
ight
angle
]
等价地，
[left| {leftlangle {x,y}
ight
angle }
ight| le left| x
ight|left| y
ight|
]
Jensen不等式
对于凸函数，我们有
[f(Ex)le Ef(x)
]
Boole不等式（联合界）
在概率论里，可数的事件集合(A_1,A_2,A_3,ldots),至少有一个事件发生的概率小于所有事件概率之和
[P(igcuplimits_i {{A_i}} ) le sumlimits_i {P({A_i})}
]
Hoeffding不等式
设(X_1,ldots,X_n)是独立随机变量，而且，(P({X_i} in [{a_i},{b_i}]) = 1,1 le i le n)
我们定义(ar X = {1 over n}({X_1} + cdots + {X_n}))
那么，
[P(ar X - E(ar X) ge t) le {e^{ - 2n{t^2}}}
]
[P(ar X - E(ar X) ge t) le exp ( - {{2{n^2}{t^2}} over {sum
olimits_{i = 1}^n {{{({b_i} - {a_i})}^2}} }})
]
[P(|ar X - E(ar X)| ge t) le 2exp ( - {{2{n^2}{t^2}} over {sum
olimits_{i = 1}^n {{{({b_i} - {a_i})}^2}} }})
]
我们定义(S_n={X_1} + cdots + {X_n})
那么，
[P({S_n} - E({S_n}) ge t) le exp ( - {{2{t^2}} over {sum
olimits_{i = 1}^n {{{({b_i} - {a_i})}^2}} }})
]
[P(|{S_n} - E({S_n})| ge t) le 2exp ( - {{2{t^2}} over {sum
olimits_{i = 1}^n {{{({b_i} - {a_i})}^2}} }})
]