一个顽猴在一座有k级台阶的山上爬山跳跃，猴子上山一步可跳1级或跳3级，试求顽猴上山的N级台阶有多少种不同的跳法；
1.递推设计：
这一问题实际上是一个整数有序可重复拆分问题；
试设置数组应用递推求解，设上k级台阶的不同跳法为f（k）种；
（1）、探求f（k）的递推关系；
假设：k=100;
上山最后一步到达第100级台阶，完成上山，共有f（100）种不同的爬法，到第100级之前位于哪一级呢？无非是位于第99级（上跳1级即到），有f（99）种；
或位于第97级（上跳3级即到），有f（97）种，于是：
- f（100）=f（99）+f（97）
- f（99）= f（98）+f（96）
- f（97）= f（96）+f（94）
- 依次类推
以此类推，一般地有递推关系：
- f（k）=f（k-1）+f（k-3） （k>3）
（2）、确定初始条件：
-
f（1）=1，即1=1；
-
f（2）=1，即2=1+1（注意：跳法中不允许直接跳2级）；
-
f（3）=2，即3=1+1+1，3=3；
（3）、实施递推；
根据以上递推关系与初始条件设置一重k（4~n）循环，循环外确定初始条件，循环内实施递推：
- f[k]=f[k-1]+f[k-3]，即可求出f（n）；//与斐波那契数列的求解一样
此具体案例的递推设计比较简单，时间复杂度为O（n）；
程序设计（Java）：
public static void main(String[] args){ Scanner sc = new Scanner(System.in); int k = sc.nextInt(); System.out.println(recursion(k)); } static int recursion(int k){ //f（1）=1，即1=1； //f（2）=1，即2=1+1（注意：跳法中不允许直接跳2级）； //f（3）=2，即3=1+1+1，3=3； if(k==1 || k==2){ return 1; } if(k==3){ return 2; } return recursion(k-1)+recursion(k-3); }
2.一般情形的分级递推：
把问题引申为爬山n级台阶，一步有m种跨法，具体一种跨法跳多少级均从键盘输入；
（1）、分级递推设计；
1）、设置两个数组；
爬山t级台阶的不同爬法为f（t），从键盘输入一步跨多少级的m个整数为x[i]（i=1，2，……，m）；
这里的整数x（1），x（2），……，x（m）（约定x（1）< x（2）<……< x（m）< n）为键盘输入，事前并不知道，因此不能在设计时简单地确定初始值f（x(1)），f（x(2)），……；
事实上，可以把初始条件放在分级递推中求取，应用多关系分级递推算法完成递推；
2）、确定f（t）的递推关系；
当t< x（1）时，f（t）=0，f（x(1)）=1 （初始条件）；
当x（1）< t<=x（2）时，第1级递推：f（t）=f（t-x(1)）；
当x（2）< t<=x（3）时，第2级递推：f（t）=f（t-x(1)）+f（t-x(2)）；
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一般的，当x（k）< t<=x（k-1），k=1，2，……，m-1，有第k级递推：
f（t）=f（t-x(1)）+f（t-x(2)）+……f（t-x(k)）；
当x（m）< t时，第m级递推：
f（t）=f（t-x(1)）+f（t-x(2)）+……+f（t-x(m)）；
当t=x（2），或t=x（3），……，或t=x（m）时，按上面递推求f（t）外，还要加上1，道理很简单，因为此时t本身即为一个一步到位的爬法，为此，应在以上递推基础上添加：
f（t）=f（t）+1 （t=x（2），x（3），……，x（m））；
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所求的目标为：
f（n）=f（n-x(1)）+f（n-x(2)）+……+f（n-x(m)）；
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这一递推式是我们设计的依据；
3）、设x（m+1）的技巧；
在递推设计中可以把台阶数n记为数组元素x（m+1），这样处理是巧妙地，可以按相同的递推规律递推计算，简化算法设计，最后一项f（x(m+1)）即为所求f（n）；
最后输出f（n）即f（x(m+1)）时必须把额外所添加的1减去；
注意：上述求解过程中存在重复计算某个值，可以画出递归树来看，可以使用备忘录或者table表去优化。
可参考：https://www.cnblogs.com/controller666/p/14520459.html 带备忘录的递归解法
优化代码：
public static void main(String[] args) { Scanner sc = new Scanner(System.in); int k = sc.nextInt(); System.out.println(recursion(k)); } public static int recursion(int n) { int[] res = new int[n+1]; //备忘录全初始化为-1 for (int i = 0; i < n+1; i++) { res[i] = -1; } //等于0的情况返回就是0 if (n == 0) { res[n] = 0; return 0; } //等于1或者2的情况就是1 并记录已计算过 if (n == 1) { res[n] = 1; return 1; } if (n == 2) { res[2] = 1; return 1; } //等于3的情况就是2 并记录已计算过 if (n == 3) { res[3] = 2; return 2; } //如果数组中的值不是-1，则说明计算过，则直接返回，不再重复计算 if (res[n] != -1) return res[n]; res[n] = recursion(n - 1) + recursion(n - 3); return res[n]; }