一滴水,沿着玻璃往下滚动,轨迹就是梯度的反方向。
我们先来玩一个游戏,假如你在一座山上,蒙着眼睛,但是你必须到达山谷中最低点的湖泊,你该怎么办?
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梯度可以帮助你完成这个游戏。
梯度和方向导数紧密相关,让我们从方向导数开始。
1. 方向导数
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顾名思义,方向导数就是某个方向上的导数。
什么是方向:
函数在这个方向上的图像:
我们知道:
函数的
点在这个方向上也是有切线的,其切线的斜率就是方向导数:
我之前在什么是全导数、偏导数、方向导数?这个回答中,已经全面回答过什么是方向导数了。感兴趣可以看看。
2. 梯度
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很显然,点不止一个方向,而是
都有方向:
每个方向都是有方向导数的:
这就引出了梯度的定义:
梯度:是一个矢量,其方向上的方向导数最大,其大小正好是此最大方向导数。
定义出来了,并不复杂,但对于我而言这才是开始,因为我还有两个疑问:
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为什么所有方向导数中会存在并且只存在一个最大值?而不是有多个最大值、或者说没有最大值?
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这个最大值在哪个方向取得?值是多少?