[算法]组合/子集问题(包含POJ2453) 从n个元素的集合中选择k个元素作为子集的所有情况(python实现)

组合/子集问题，从n个元素的集合中选择k个元素作为子集的所有情况(python实现)

问题背景

机器学习基础这门课的第一个实验是熟悉实验环境，任务是利用服务器上的jupyter环境可视化一个数据集，这个数据集的特征有3个，标签有一个，要求是以两个特征为一个组合画散点图，我觉得这个时候不能太粗暴的写几个for迭代就完事了，稍微写的巧妙一点，泛化能力强一点的工具函数能更好的完成之后出现的任务。

那么问题来了，如何获得所有k个特征组合的情况呢？

解决方法

参考了网上的一片博客，觉得他的方法不错，搞懂了之后决定记录一下这个方法。

参考原文: https://blog.csdn.net/zdy0_2004/article/details/17006957

先耐心搞懂POJ2453

这个问题是来自北京大学的Online Judge

问题是: 求一个数next，这个数大于给定的数C，满足2进制形式和C有相同1的个数的最小的数。

举个例子: 26的二进制为11010，他的下一个数next为11100，他们二进制含有相同的1，并且是满足大于26的最小的一个正整数。

再举个例子: 78 => 1001110，next => 1010011(83)

可以发现其原理就是要将低位的1串的第一个往左进一位，剩下的串右移到最低位:

1. 1001110 -> 1010110
2. 1010110 -> 1010011

算法流程(78为例子):

1. 找到最右的一串1，并将最前的1进位:

   1. 只要在这一串的最后一个1(也就是这个数二进制的最后一个1)加1就可以将最后的一串1都进位，通过C & (-C): 负数是原码取反码加一，

      • -C: 1001110 => 0110001 + 1 => 0110010，仅有最后一个1是与原数相同的

      • C & (-C): 可以得到最后一个1所在的数x = 0000010

        	1001110
        &   0110010
        	0000010
        

   2. 用x加C得到第一个1进位后的数t = 1010000

2. 将最后一串1中剩下的1移动到最低位:

   1. 得到仅有最右一串1的二进制数C ^ t用进位后的t和原数异或，可以去掉高位的1，但是会多出两个1:

      • C ^ t: 得到0011110第三个1是进位的1，并且进位的1算在1的总个数里面，原来位置也多余了，所以只要将粗体的两个1移动就好，所以多出了两个1

        	1001110
        ^   1010000
        	0011110
        

   2. 对齐最后一位1，右移到最低位: (C ^ t) / x，很巧妙就是最后一位1截断

      	0011110
      /   0000010
      	0001111
      

   3. 由于多出了2位，反正是右移到最低，直接再右移两位即可 >>2

   4. 将这个数加在t上，或者用或运算 t | ()(C ^ t) / x) >> 2就得到了符合条件的数啦

感觉只要涉及到二进制的都会用位运算

python 实现

def next_n(n):
    """
    find next n [POJ2453]
    :param n: positive int
    :return next_n 
    """
    x = n & -n
    t = n + x
    ans = t | (((n ^ t) // x) >> 2)     # 这里要整除 不然就被转换成float了
    return ans

进入正题 解决组合问题

其实组合问题可以看成是每一个情况都有一个one hot编码，就是说被选进组合的下标所在对应特征位置为1，否则为0，那也可以看成是二进制编码！

n个元素中选则k个作为一个组合，那么可以看成是一个n为二进制的数，其中只有k个位是1

算法流程:

1. 构造一个n为的二进制数，其最低的k位为1，用位运算的方法其实考虑了很久，有一个方法是用第k+1位为1的数减去1就可以得到最低k位全是1了: s = (1 << k) - 1
2. 从s开始，s = next_n(s)，直到s成为最高k位都是1其余都是0的数。每一个s对应一种组合情况。
3. 处理组合，简单来说就是s的所有位，见代码解释

python 实现

def gen_index_comb(pool):
    """
    遍历所有pool位来判断被选入的下标
    :param pool: int
    :return comb: tuple 下标组合
    """
    i = 0	# 记录下标
    # x用来判断pool在第i位上是否有1
    x = 1 << i		# 从1开始
    comb = []
    while x <= pool:
        if x & pool:
            # 相与不为0 说明有1
            comb.append(i)
        i += 1
        x <<= 1  # 看下一个bit
    return tuple(comb)

def gen_comb(n, k):
    """
    choose k elements from n-d array
    :param n: int, k: int
    :return comb_list: list of combination of index
    """
    pool = (1 << k) - 1     # 注意<<优先级
    ceiling = pool << (n - k)	# 上限通过下限左移n-k位得到
    comb_list = [tuple(range(k))]
    while pool < ceiling:
        pool = next_n(pool)
        comb_list.append(gen_index_comb(pool))
    return comb_list

p.s. C++实现之后补上