点到平面的距离计算
如上图所示，假设现在有一平面(S)
[WX+b = 0
]
其中(W,X)都是向量，现有平面外一点(Q)，求(Q)到平面的距离。
我们假设平面内有一点(P)，并且平面的法向量为(overrightarrow{n}=(W_1, W_2, cdots, W_n))，那么有(Q)到(S)的距离为
[egin{split}
d &= |PQ|cos heta\
&= dfrac{|overrightarrow{n}|}{|overrightarrow{n}|}|PQ|cos heta\
&= dfrac{overrightarrow{n}overrightarrow{PQ}}{|overrightarrow{n}|}\
&= dfrac{W_1(Q_1 - P_1) + W_2(Q_2 - P_2) + cdots + W_n(Q_n - P_n)}{sqrt{W_1^2 + W_2^2 + cdots + W_n^2}}\
&= dfrac{WQ - WP}{sqrt{W_1^2 + W_2^2 + cdots + W_n^2}}\
&= dfrac{WQ - (-b)}{sqrt{W_1^2 + W_2^2 + cdots + W_n^2}}\
&= dfrac{WQ + b }{sqrt{W_1^2 + W_2^2 + cdots + W_n^2}}
end{split}
]
其中( heta)为过(P)点的(S)法向量与(PQ)的夹角，因为(P)为(S)内的一点，所以有(WP+b=0)所以可以将(WP)替换为(-b)
综上所述，所以平面外一点(X)到平面的距离公式为
[d = dfrac{1}{|W|}(WX+b)
]
由于距离通常是个大于等于0的数，所以需要取绝对值。点到直线的距离是点到平面的特例，上式依然可行