FWT,FST入门

什么是 FWT

FWT 全称为 " 快速沃尔什变换： Fast Walsh Transform " 。可以用于解决位运算卷积的问题。

什么叫位运算卷积呢？我们考虑普通的卷积，即：

[C_k=sum_{i+j=k}A_iB_j ]

位运算卷积就是下标为位运算的卷积（此处与和或用 C++ 记号，异或用(oplus)）：

[egin{aligned} ext{与卷积：}&C_k=sum_{i&j=k}A_iB_j\ ext{或卷积：}&C_k=sum_{i|j=k}A_iB_j\ ext{异或卷积：}&C_k=sum_{ioplus j=k}A_iB_jend{aligned} ]

FWT

为了方便，以下我们假设所有向量长度都相等，为(2)的整幂，即长度(n=2^m)。高位以 0 补齐。

设一个向量(A)经过 FWT 之后得到了(FWT(A))， FWT 的最终目标就是满足：(FWT(C)=FWT(A)cdot FWT(B))，其中的点乘表示向量的每一位相乘：(Acdot B=(A_0B_0,A_1B_1,...,A_iB_i,...))。

FWT 针对三种位运算有各自的处理方法：

或卷积

我们发现或运算存在如下的性质：

[(j|i=i)land (k|i=i)Rightarrow (j|k)|i=i ]

如果将二进制理解为一个 01 集合，我们就可以用集合并的方式理解上面的性质。发现这其实是一个伪分配律。

根据这个性质我们可以进行构造：

[a_i=sum_{j|i=i}A_j\b_i=sum_{j|i=i}B_j\c_i=sum_{j|i=i}C_j ]

那么可以发现：

[egin{aligned} a_ib_i &=sum_{j|i=i}A_j imes sum_{k|i=i}B_k\ &=sum_{j|i=i}sum_{k|i=i}A_jB_k\ &=sum_{(j|k)|i=i}A_jB_k\ &=c_i end{aligned} ]

这样做了对应乘法之后就可以得到(c)，再进行一次逆变换就可以得到(C)。

因此问题变成了怎么进行这样的变换。

考虑一种分治（或者称为 DP ）的做法：

(f(i,j))：满足仅有低(i)位可能与(j)不同的，且与(j)或后得到(j)的下标所对应的数的和。

或者可以被描述为：

[f(i,j)=sum_{lfloorfrac k{2^i} floor=lfloorfrac j{2^i} floor,k|j=j} a_k ]

考虑如何进行转移，即从(f(i-1))转移到(f(i))。这种情况下只有第(i)位解除了限制。根据或的性质，如果第(i)位为 0 ，那么第(i)位或操作之后仍需要是 0 ，就只能从第(i)位为 0 的(f(i,j))转移来；如果第(i)位为 1 ，那么第(i)位或操作总得到是 1 ，就可以不考虑第(i)位，从(f(i,j))和(f(i,j+2^i))转移来。

放个图片理解一下：

顺便可以得到转移为：

正变换：

[egin{aligned} f(i,j)&=f(i-1,j)\ f(i,j+2^i)&=f(i-1,j)+f(i-1,j+2^i) end{aligned} ]

逆变换就是将特殊贡献扣除：

[egin{aligned} f(i,j)&=f(i+1,j)\ f(i,j+2^i)&=f(i+1,j+2^i)-f(i+1,j) end{aligned} ]

可以发现(f(0,i)=A_i)，且这个转移可以滚动数组优化。

这样的 FWT 就是(O(nlog_2n))。

与卷积

与卷积与或卷积十分相似，因此可以用类似的方法分析。这里只给出状态和转移：

[f(i,j)=sum_{lfloorfrac k{2^i} floor=lfloorfrac j{2^i} floor,k&j=j} a_k ]

正变换：

[egin{aligned} f(i,j)&=f(i-1,j)+f(i-1,j+2^i)\ f(i,j+2^i)&=f(i-1,j+2^i) end{aligned} ]

逆变换：

[egin{aligned} f(i,j)&=f(i+1,j)-f(i+1,j+2^i)\ f(i,j+2^i)&=f(i+1,j+2^i) end{aligned} ]

异或卷积

我们同样考虑异或的性质。

设(count(i))为(i)的二进制中(1)的位数，(iotimes j=count(i&j)mod 2)则异或有性质：

[(iotimes j)oplus(iotimes k)=iotimes (joplus k) ]

即奇偶性相等。设(count(j&i)=a,count(k&i)=b,count(j&k&i)=c)，则左侧奇偶性由(a+b)决定，右侧奇偶性由(a+b-2c)决定，可以发现两侧的奇偶性相等。

说起奇偶性，我们可以想到(-1)的幂。于是设：

[egin{aligned} a_i=sum_j(-1)^{iotimes j}A_j\ b_i=sum_j(-1)^{iotimes j}B_j\ c_i=sum_j(-1)^{iotimes j}C_j end{aligned} ]

然后就可以看看这样转换后乘起来的结果：

[egin{aligned} a_ib_i &=sum_j(-1)^{iotimes j}A_j imes sum_k(-1)^{iotimes k}B_k\ &=sum_{iotimes j=0}sum_{iotimes k=0}A_jB_k-sum_{iotimes j=1}sum_{iotimes k=0}A_jB_k-sum_{iotimes j=0}sum_{iotimes k=1}A_jB_k+sum_{iotimes j=1}sum_{iotimes k=1}A_jB_k\ &=sum_{iotimes (joplus k)=0}A_jB_k-sum_{iotimes (joplus k)=1}A_jB_k\ &=sum_p(-1)^{iotimes p}sum_{joplus k=p}A_jB_k\ &=sum_p(-1)^{iotimes p}C_p\ &=c_i end{aligned} ]

我们达成了目的。接下来就看看怎么变换。继续考虑 DP ：

[f(i,j)=sum_{lfloorfrac k {2^i} floor=lfloor frac j {2^i} floor}(-1)^{jotimes k}a_k ]

可以发现，从(f(i-1))转到(f(i))的时候，只有第(i)位都是(1)才会令(jotimes k)改变奇偶性，即多乘上一个 -1 。

这样转移，最终(jotimes k=0)的情况就会被乘上偶数次 -1 ，而(jotimes k=1)的情况就会被乘上奇数次 -1 ，最终答案就是正确的。

按照这样，正变换：

[egin{aligned} f(i,j)&=f(i-1,j)+f(i-1,j+2^i)\ f(i,j+2^i)&=f(i-1,j)-f(i-1,j+2^i) end{aligned} ]

逆变换，用到了小学奥数的 " 和差问题 " 的结论：

[egin{aligned} f(i,j)&=frac{f(i+1,j)+f(i+1,j+2^i)} 2\ f(i,j+2^i)&=frac{f(i+1,j)-f(i+1,j+2^i)} 2 end{aligned} ]

需要注意的是，异或卷积的逆变换还有一个 " 类 FFT " 的写法，即逆变换只比正变换在最后多除一个(n)（事实上异或 FWT 和 FFT 有很多相似处，可以在 K 进制 FWT 中找到答案）。

例题

洛谷P4717。三种 FWT 全家桶。

参考代码：

const int mod = 998244353, inv2 = 499122177;
const int MAXSIZ = 5e5 + 5;

int A[MAXSIZ], B[MAXSIZ], C[MAXSIZ], a[MAXSIZ], b[MAXSIZ];
int N, M;

int fix( const int x ) { return ( x % mod + mod ) % mod; }

namespace OR
{
	void FWT( int *f, const int m )
	{
		for( int s = 2 ; s <= M ; s <<= 1 )
			for( int i = 0, t = s >> 1 ; i < M ; i += s )
				for( int j = i ; j < i + t ; j ++ )
					f[j + t] = fix( f[j + t] + f[j] * m ) % mod;
	}
}

namespace AND
{
	void FWT( int *f, const int m )
	{
		for( int s = 2 ; s <= M ; s <<= 1 )
			for( int i = 0, t = s >> 1 ; i < M ; i += s )
				for( int j = i ; j < i + t ; j ++ )
					f[j] = fix( f[j] + f[j + t] * m ) % mod;
	}
}

namespace XOR
{
	void FWT( int *f, const int m )
	{
		int t1, t2;
		for( int s = 2 ; s <= M ; s <<= 1 )
			for( int i = 0, t = s >> 1 ; i < M ; i += s )
				for( int j = i ; j < i + t ; j ++ )
				{
					t1 = f[j], t2 = f[j + t];
					if( m > 0 )
						f[j] = ( t1 + t2 ) % mod,
						f[j + t] = fix( t1 - t2 );
					else
						f[j] = 1ll * ( t1 + t2 ) % mod * inv2 % mod,
						f[j + t] = 1ll * fix( t1 - t2 ) * inv2 % mod;
				}
	}
}

void cal( void ( *fwt ) ( int*, int ) )  //函数指针的写法，主要是方便。  
{
	for( int i = 0 ; i < M ; i ++ ) A[i] = a[i], B[i] = b[i];
	fwt( A, 1 ), fwt( B, 1 );
	for( int i = 0 ; i < M ; i ++ ) C[i] = 1ll * A[i] * B[i] % mod;
	fwt( C, -1 );
	for( int i = 0 ; i < M ; i ++ ) write( C[i] ), putchar( i == M - 1 ? '
' : ' ' );
}

FST

FST 怎么做

它听着不妙。

快速子集变换 FST 解决的是一类子集卷积的问题，即：

[f(U)=sum_{S,Tsubseteq U, Scup T=U, Scap T=varnothing} g(S) imes h(T) ]

这个卷积和或卷积的区别在于，或卷积可以有交集（并不要求(j& k=0)），然而子集卷积不可以有。

注意到这个限制在子集卷积中等价于(|S|+|T|=|U|)。因此我们可以给状态加上一维限制大小：

(f(i,U))：大小为(i)的集合(U)的所有子集的贡献，(g)和(h)同理转换。

这个信息可以直接用 FWT 正变换得到。

因此有转移：

[f(i,U)=sum_j^isum_{Scup T=U}g(i,S) imes h(i-j,T) ]

转移完成后需要 FWT 逆变换回来，再将不符合要求（集合大小不匹配）的清除。

例题

[CF914G]Sum The Fibonacci， FWT + FST ，附赠题解一篇。