数论

Relatives

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Description

Given n, a positive integer, how many positive integers less than n are relatively prime to n? Two integers a and b are relatively prime if there are no integers x > 1, y > 0, z > 0 such that a = xy and b = xz.

Input

There are several test cases. For each test case, standard input contains a line with n <= 1,000,000,000. A line containing 0 follows the last case.

Output

For each test case there should be single line of output answering the question posed above.

Sample Input

7
12
0

Sample Output

6
4

Source

Waterloo local 2002.07.01

 

 

---

Mean: 

 输入一个正整数n，求小于n的所有数中与n互质的数的个数。

analyse:

 裸的欧拉函数，数据很弱，直接用模板。

欧拉函数PHI(n)表示的是比n小，并且与n互质的正整数的个数(包括1)。比如：
PHI(1) = 1; PHI(2) = 1; PHI(3) = 2; PHI(4) = 2; ... PHI(9) = 6; ...

要计算一个数的欧拉函数的方法如下：

1)将这个数分解质因数：n=p1^k1+p2^k2+p3^k3+p4^k4....

2) PHI(n) = (p1 ^ k1 - p1 ^ (k1 - 1)) * (p2 ^ k2 - p2 ^ (k2 - 1)) * ... * (pn ^ kn - pn ^ (kn - 1))
              = Mult { pi ^ ki - pi ^ (ki -1) };

证明过程如下：
1. 容易想到：当n为素数时，PHI(n) = n - 1。因为每个比n小的正整数都和n互素。当n为素数p的k次方时，PHI(n) = p ^ k - p ^ (k - 1)。因为在1到n之间的正整数只有p的倍数和n不互素，这样的数有(p ^ k / p)个。
2. 如果m和n互素，即GCD(m, n) = 1，那么PHI(m * n) = PHI(m) * PHI(n)。用中国剩余定理可以证明，证明的思路是建立这样一种一一对应的关系(a, b) <-> x，其中正整数a小于m并且gcd(a, m) = 1，正整数b小于n并且gcd(b, n) = 1，正整数x小于m*n并且gcd(m*n, x) = 1。证明过程如下：
    1)根据中国剩余定理，如果m和n互素，那么关于未知量x的方程组x % m = a, x % n = b(0 <= a < m, 0 <= b < n)，当0 <= x < m * n时存在并且仅存在一个解。容易证明，如果两个这样的方程组有相同的m, n但是a, b不同，那么他们的解x一定不同。
    2)首先用反正法证明：gcd(m, a) = 1且gcd(n, b) = 1是gcd(m*n, x) = 1的必要条件：假设gcd(a, m) = k > 1，由此可得：a = a' * k; m = m' * k => x = k' * m + a = k' * k * m' + k * a' = k * (k' * m' + a'); 所以gcd(x, m) = k > 1。同理可证，如果gcd(b, n) > 1， 那么gcd(x, n) > 1。所以x和m * n互素的必要条件是a和m互诉且b和n互素。
    3)接下来我们证明充分性：由x % m = a 可以得到x = k * m + a；由欧几里德算法求最大公约数的过程（就不证明了，呵呵，还得想）可以知道gcd(x, m) = gcd(m, a) = 1；同理可得，如果gcd(n, b) = 1那么gcd(x, n) = 1。接下来很容易得到：gcd(m*n, x) = 1。从而证明了充分性。
    4)上面三步的结论表明，数对(a, b)是可以和x建立起一一对应的关系的，所以有多少个不同的(a, b)，就有多少个不同的x。
3.将n分解成素数乘积后，显然对于任意的i, j(i != j)都满足 pi ^ ki和pj ^ kj是互素的，于是可以的到上面的公式。

跟据上面的公式，可以得到关于欧拉函数的递推关系：
假设素数p能整除n，那么
如果p还能整除n / p, PHI(n) = PHI(n / p) * p;
如果p不能整除n / p, PHI(n) = PHI(n / p) * (p - 1);

Time complexity：O(n)

Source code：

// Memory   Time
// 1347K     0MS
// by : Snarl_jsb
// 2014-09-12-21.18
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<string>
#include<climits>
#include<cmath>
#define N 1000010
#define LL long long
using namespace std;


int gcd(int a,int b){
	return b?gcd(b,a%b):a;
}

inline int lcm(int a,int b){
	return a/gcd(a,b)*b;
}

int eular(int n)    ////求1..n-1中与n互质的数的个数
{
	int ret=1,i;
	for (i=2;i*i<=n;i++)
		if (n%i==0){
			n/=i,ret*=i-1;
			while (n%i==0)
				n/=i,ret*=i;
		}
	if (n>1)
		ret*=n-1;
	return ret;
}
int main()
{
//    freopen("C:\Users\ASUS\Desktop\cin.cpp","r",stdin);
//    freopen("C:\Users\ASUS\Desktop\cout.cpp","w",stdout);
    int n;
    while(~scanf("%d",&n),n)
    {
        int ans=eular(n);
        cout<<ans<<endl;
    }

    return 0;
}