数学

Digital Root 

Problem's Link

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Mean: 

定义f(n)为n各位数字之和，如果n是各位数，则n个数根是f(n)，否则为f(n)的数根.

现在给出n个Ai，求出A1*A2*…*AN + A1*A2*…*AN-1 + … + A1*A2 + A1 这个式子的数根.

analyse:

这道题目要用到这个规律，设f(n)是n的digital root，那么f(A*N)=f(A*f(N));

具体证明过程如下：

　　设自然数N=a[n]a[n-1]…a[0]，其中a[0]，a[1]、…、a[n]分别是个位、十位、…上的数字

　　再设M=a[0]+a[1]+…+a[n]

　　求证：N≡M(mod 9).

　证明：
　　 ∵ N=a[n]a[n-1]…a[0]=a[n]*10^n+a[n-1]*10^(n-1)+…+a[1]*10+a[0].
　　 又∵ 1≡1(mod 9),
　　 10≡1(mod 9),
　　 10^2≡1(mod 9),
　　 …
　　 10^n≡1(mod 9).
　　 上面这些同余式两边分别同乘以a[0]、a[1]、a[2]、…、a[n]，再相加得：
　　　　 a[0]+a[1]*10+…+a[n]*10^n≡(a[0]+a[1]+…+a[n])(mod 9)，
　　　　　　　　　　　　　　　　 即 N≡M(mod 9)，得证。

　　有了这个性质就容易解决本题了

　　在计算过程中，可以不断mod 9，因为我们知道有这样两个性质：

　　　　(A+B)mod C = （(A mod C) + (B mod C)）mod C
　　　　(AB)mod C = ((A mod C)×(B mod C)) mod C

　还要注意，如果余数为0，则输出9.

Time complexity: O(N)

 

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*/
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <string>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long(LL);
typedef unsigned long long(ULL);
const double eps(1e-8);


#define REP( i, n )
   for ( int i = 0; i < (n); i++ )
#define REPD( i, n )
   for ( int i = (n) - 1; i >= 0; i-- )
#define FOR( i, b, e )
   for ( int i = (b); i <= (e); i++ )

typedef long long int64;

const int MAXN = 1000;

int T, N;
int64 val[MAXN];

int droot( int x )
{
   if ( x < 10 ) return x;
   int ans = 0;
   while ( x > 0 )
   {
       ans += x % 10;
       x /= 10;
   }
   return droot( ans );
}

int main()
{
   scanf( "%d", &T );
   while ( T-- )
   {
       scanf( "%d", &N );
#warning READ LLD
       REP( i, N )
       scanf( "%I64d", &val[i] );
       int64 ans = droot( val[N - 1] );
       REPD( i, N - 1 )
       ans = droot( droot(val[i]) * droot(ans+1) );
       printf( "%I64d ", ans );
   }

   return 0;
}