贝叶斯方法之二

一、病人分类的例子

让我从一个例子开始讲起，你会看到贝叶斯分类器很好懂，一点都不难。

某个医院早上收了六个门诊病人，如下表。

　　症状　　职业　　　疾病

　　打喷嚏　护士　　　感冒 
　　打喷嚏　农夫　　　过敏 
　　头痛　　建筑工人　脑震荡 
　　头痛　　建筑工人　感冒 
　　打喷嚏　教师　　　感冒 
　　头痛　　教师　　　脑震荡

现在又来了第七个病人，是一个打喷嚏的建筑工人。请问他患上感冒的概率有多大？

根据贝叶斯定理：

　P(A|B) = P(B|A) P(A) / P(B)

可得

　　　P(感冒|打喷嚏x建筑工人) 
　　　　= P(打喷嚏x建筑工人|感冒) x P(感冒) 
　　　　/ P(打喷嚏x建筑工人)

假定"打喷嚏"和"建筑工人"这两个特征是独立的，因此，上面的等式就变成了

　　　P(感冒|打喷嚏x建筑工人) 
　　　　= P(打喷嚏|感冒) x P(建筑工人|感冒) x P(感冒) 
　　　　/ P(打喷嚏) x P(建筑工人)

这是可以计算的。

　　P(感冒|打喷嚏x建筑工人) 
　　　　= 0.66 x 0.33 x 0.5 / 0.5 x 0.33 
　　　　= 0.66

因此，这个打喷嚏的建筑工人，有66%的概率是得了感冒。同理，可以计算这个病人患上过敏或脑震荡的概率。比较这几个概率，就可以知道他最可能得什么病。

这就是贝叶斯分类器的基本方法：在统计资料的基础上，依据某些特征，计算各个类别的概率，从而实现分类。

二、朴素贝叶斯分类器的公式

假设某个体有n项特征（Feature），分别为F₁、F₂、...、F_n。现有m个类别（Category），分别为C₁、C₂、...、C_m。贝叶斯分类器就是计算出概率最大的那个分类，也就是求下面这个算式的最大值：

　P(C|F1F2...Fn) 
　　= P(F1F2...Fn|C)P(C) / P(F1F2...Fn)

由于 P(F1F2...Fn) 对于所有的类别都是相同的，可以省略，问题就变成了求

　P(F1F2...Fn|C)P(C)

的最大值。

朴素贝叶斯分类器则是更进一步，假设所有特征都彼此独立，因此

　P(F1F2...Fn|C)P(C) 
　　= P(F1|C)P(F2|C) ... P(Fn|C)P(C)

上式等号右边的每一项，都可以从统计资料中得到，由此就可以计算出每个类别对应的概率，从而找出最大概率的那个类。

虽然"所有特征彼此独立"这个假设，在现实中不太可能成立，但是它可以大大简化计算，而且有研究表明对分类结果的准确性影响不大。

下面再通过两个例子，来看如何使用朴素贝叶斯分类器。

三、账号分类的例子

本例摘自张洋的《算法杂货铺----分类算法之朴素贝叶斯分类》。

根据某社区网站的抽样统计，该站10000个账号中有89%为真实账号（设为C₀），11%为虚假账号（设为C₁）。

　　C0 = 0.89

　　C1 = 0.11

接下来，就要用统计资料判断一个账号的真实性。假定某一个账号有以下三个特征：

　　　　F1: 日志数量/注册天数 
　　　　F2: 好友数量/注册天数 
　　　　F3: 是否使用真实头像（真实头像为1，非真实头像为0）

　　　　F1 = 0.1 
　　　　F2 = 0.2 
　　　　F3 = 0

请问该账号是真实账号还是虚假账号？

方法是使用朴素贝叶斯分类器，计算下面这个计算式的值。

　　　　P(F1|C)P(F2|C)P(F3|C)P(C)

虽然上面这些值可以从统计资料得到，但是这里有一个问题：F1和F2是连续变量，不适宜按照某个特定值计算概率。

一个技巧是将连续值变为离散值，计算区间的概率。比如将F1分解成[0, 0.05]、(0.05, 0.2)、[0.2, +∞]三个区间，然后计算每个区间的概率。在我们这个例子中，F1等于0.1，落在第二个区间，所以计算的时候，就使用第二个区间的发生概率。

根据统计资料，可得：

　　P(F1|C0) = 0.5, P(F1|C1) = 0.1 
　　P(F2|C0) = 0.7, P(F2|C1) = 0.2 
　　P(F3|C0) = 0.2, P(F3|C1) = 0.9

因此，

　　P(F1|C0) P(F2|C0) P(F3|C0) P(C0) 
　　　　= 0.5 x 0.7 x 0.2 x 0.89 
　　　　= 0.0623

　　P(F1|C1) P(F2|C1) P(F3|C1) P(C1) 
　　　　= 0.1 x 0.2 x 0.9 x 0.11 
　　　　= 0.00198

可以看到，虽然这个用户没有使用真实头像，但是他是真实账号的概率，比虚假账号高出30多倍，因此判断这个账号为真。

四、性别分类的例子

本例摘自维基百科，关于处理连续变量的另一种方法。

下面是一组人类身体特征的统计资料。

　　性别　　身高（英尺）　体重（磅）　　脚掌（英寸）

　　男 　　　6 　　　　　　180　　　　　12 
　　男 　　　5.92　　　　　190　　　　　11 
　　男 　　　5.58　　　　　170　　　　　12 
　　男 　　　5.92　　　　　165　　　　　10 
　　女 　　　5 　　　　　　100　　　　　6 
　　女 　　　5.5 　　　　　150　　　　　8 
　　女 　　　5.42　　　　　130　　　　　7 
　　女 　　　5.75　　　　　150　　　　　9

已知某人身高6英尺、体重130磅，脚掌8英寸，请问该人是男是女？

根据朴素贝叶斯分类器，计算下面这个式子的值。

P(身高|性别) x P(体重|性别) x P(脚掌|性别) x P(性别)

这里的困难在于，由于身高、体重、脚掌都是连续变量，不能采用离散变量的方法计算概率。而且由于样本太少，所以也无法分成区间计算。怎么办？

这时，可以假设男性和女性的身高、体重、脚掌都是正态分布，通过样本计算出均值和方差，也就是得到正态分布的密度函数。有了密度函数，就可以把值代入，算出某一点的密度函数的值。

比如，男性的身高是均值5.855、方差0.035的正态分布。所以，男性的身高为6英尺的概率的相对值等于1.5789（大于1并没有关系，因为这里是密度函数的值，只用来反映各个值的相对可能性）。

有了这些数据以后，就可以计算性别的分类了。

　　P(身高=6|男) x P(体重=130|男) x P(脚掌=8|男) x P(男) 
　　　　= 6.1984 x e^-9

　　P(身高=6|女) x P(体重=130|女) x P(脚掌=8|女) x P(女) 
　　　　= 5.3778 x e^-4

可以看到，女性的概率比男性要高出将近10000倍，所以判断该人为女性。

（完）

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