卡特兰数的证明以及应用

出栈序列计数问题

给定一长为n的序列，各位元素各不相同，那么经过入栈，出栈后，可以得到多少种不同的序列。

这个问题的答案是卡特兰数C(n)。

卡特兰数

卡塔兰数是中一个常在各种计数问题中出现的数列。用C(n)表示卡特兰数第n项，则有通项公式

[C(n)=C_{2n}^n-C_{2n}^{n+1}=frac{C_{2n}^n}{n+1}=frac{(2n)!}{(n+1)!n!} ]

有递推公式

[C(0)=1 qquad andqquad C(n+1)=frac{2(2n+1)}{n+2}C(n) ]

证明

长为n的序列，每个元素需要入栈一次，出栈一次，以0表示入栈，1表示出栈。则出入栈操作可以由一个长为2n的01串唯一表示。这个01串需符合以下条件：

1. 其中0与1的数量均为n。

2. 对于任意位置i，[1,i]位置的子串中，出现的1的个数不大于0的个数（栈的性质，未入栈不可出栈）。

可以用容斥原理统计符合条件的01串。

首先易得符合条件1的01串个数为C(2n,n)。

其中不符合条件2的串一定有： 对于某个位置2i+1，[1,2i+1]出现的1的个数为i+1，0的个数为i。

又此串符合条件1，那么剩余位置的0，1个数分别为n-i，n-i-1。

如果将剩余位置的1变为0，0变为1。那么这个串就变成了一个由n-1个0，n+1个1组成的串。

设符合条件1但不符合条件2的串构成集合N，由n-1个0，n+1个1组成的01串构成集合M

由于01互换操作是一个一一映射函数，故M与N之间存在一个一一映射，故M,N元素个数相等（映射的性质）。

故卡特兰数的通项公式为C(2n,n)-C(2n,n+1)。

这种思想称为映射计数法。

一些可以用卡特兰数的问题

1. 从(0,0)到(n,n)的不越过直线y=x的非降路径数

2. 含n个节点的不同构的二叉树的数量

3. 凸n+2边形分割为n个三角形的方法数

4. n对括号排列组成的合法的括号序列个数