【例1】求正整数的拆分数。
将正整数s表示成一系列正整数之和，s=n1+n2+…+nk，其中n1>=n2>=…>=nk, k>=1。正整数s的不同拆分个数称为s的拆分数。例如，正整数6有11种不同的拆分，分别是：
6； 5+1； 4+2； 4+1+1； 3+3； 3+2+1; 3+1+1+1；
2+2+2； 2+2+1+1； 2+1+1+1+1； 1+1+1+1+1+1。
（1）编程思想。
设m、n均为正整数，m可表示为一些不超过n的正整数之和，f（m,n）为这种表示方式的数目。下面先确定递归关系。
如果 n>m，则拆分式中n、n-1、…、m+2、m+1这n-m 个数必定不会出现，去掉它们对拆分式的表示数目不产生影响；即 f(m,n) = f(m,m)。
如果 n=m，则 f(n,m)=1+f(n,n−1)。 其中，“1”表示n的拆分式中只包含n本身，即n=n，只有一种拆分表示；f(n,n−1)表示n的所有其他拆分，即拆分式中最大正整数不超过n−1的拆分数目。
如果n<m，则 f(n,m)=f(n,m−1)+f(n−m,m)。其中，f(n,m−1)表示拆分式中不包含m的拆分式数目；f(n−m,m)表示拆分式中至少包含一个m的拆分数目，因为如果确定了一个拆分式中包含正整数m，则剩下的部分就是对n−m进行不超过m的拆分。
确定递归的终止条件。第一个终止条件：f(n,1)=1，表示当拆分式中最大的正整数是1时，该整数n只有一种拆分，即n个1相加。第二个终止条件：f(1,m)=1，表示整数n=1只有一个拆分，不管上限m是多大。
（2）源程序。
#include <iostream>
using namespace std;
int f(int m,int n)
{
if(m==1 || n==1)
return 1 ;
if(m<n)
return f(m,m);
if (m==n)
return 1+ f(m,n-1);
return f(m,n-1)+f(m-n, n );
}
int main()
{
int n, m,k;
while (cin >>m>>n && n!=0)
{
k=f(m,n);
cout<<k<<endl;
}
return 0;
}
【例2】正整数的拆分式。
正整数s（简称为和数）的拆分是把s分成为某些指定正整数（简称为零数）之和，拆分式中不允许零数重复，且不记零数的次序。
把指定正整数s拆分为1~m（m<=s）之和，共有多少种不同的拆分方式？输出所有这些拆分式。
例如，若s=6,m=6，则例1中的11个拆分式只有4个符合本题的要求。即 6； 5+1； 4+2； 3+2+1。
（1）编程思路。
由于正整数的拆分与拆分式中各零数的排列顺序无关，因此，可以将正整数s拆分式表示成一系列从大到小排列的正整数之和，即 s=n1+n2+…+nk，其中m>=n1>n2>…>nk>=1, k>=1。
拆分式中的k个零数都在1~m之间，因此我们需要先解决如何从1~m这m个数中取k（k<m）个数的所有组合。
设 comb(int a[],int m,int k)为从1~m这m个数中取k个数的所有组合结果。组合的结果保存在数组元素a[1]~a[k]中，数组元素a[0]表示组合结果中元素的个数，显然，a[0]=k。
为求解comb(int a[],int m,int k)，可以先将k个数字组合的第一个数字i放在a[k]中，第一个数字i可以是m,m-1,…,k。注意：第一个数字i不能取k-1，因为后面的数字都会取比第一个数字小的数字，因此最多只能取出1~k-1共k-1个不同的数，达不到取k个数的目的。
在将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种选择：还未确定组合的其余元素时（k>1，即还需取k-1个元素），继续递归comb(a,i-1,k-1)确定组合的其余元素，即在1~i-1中取k-1个数；已确定组合的全部元素时（k==1），输出这个组合。
实现这一取数组合的递归函数可设计为：
void comb(int a[],int m,int k)
{
int i,j;
for (i=m;i>=k;i--)
{
a[k]=i;
if(k>1)
comb(a,i-1,k-1);
else
{
for (j=a[0];j>=1;j--)
cout<<a[j]<<" ";
cout<<endl;
}
}
}
解决了组合取数后，对所选取的k个数，求其和t并与和数s进行比较：若t=s,即找到一个拆分式，输出拆分式，并设置变量cnt统计拆分式的个数。可将上面的递归函数改写为：
void comb(int a[],int m,int k,int s) // 加了一个参数s用于传递和数
{
int i,j,t;
for (i=m;i>=k;i--)
{
a[k]=i;
if (k>1)
comb(a,i-1,k-1,s);
else
{
for(t=0,j=a[0];j>0;j--) // 先计算所取数的和值t
t=t+a[j];
if(t==s) // 取数组合的和值等于所求和数s，才输出结果
{
cnt++;
cout<<s<<"=";
for(j=a[0];j>1;j--)
cout<<a[j]<<"+";
cout<<a[1]<<endl;
}
}
}
}
由于题目要求把指定正整数s拆分为1~m（m<=s）之和，因此拆分式中的数字个数可以为1个，也可以为2个，最多为m个，因此主函数中采用一个循环简单调用递归函数即可：
for (i=1;i<=m;i++)
{
a[0]=i;
comb(a,m,i,s);
}
（2）源程序及运行结果示例。
#include <iostream>
using namespace std;
int cnt=0;
void comb(int a[],int m,int k,int s)
{
int i,j,t;
for(i=m;i>=k;i--)
{
a[k]=i;
if(k>1)
comb(a,i-1,k-1,s);
else
{
for(t=0,j=a[0];j>0;j--)
t=t+a[j];
if(t==s)
{
cnt++; cout<<s<<"=";
for(j=a[0];j>1;j--)
cout<<a[j]<<"+";
cout<<a[1]<<endl;
}
}
}
}
int main()
{
int a[100],s,m,i;
while (cin>>s>>m && s!=0)
{
cnt=0;
for (i=1;i<=m;i++)
{
a[0]=i;
comb(a,m,i,s);
}
cout<<cnt<<endl;
}
return 0;
}
程序运行示例如下：
6 6
6=6
6=5+1
6=4+2
6=3+2+1
4
20 10
20=10+9+1
20=10+8+2
20=10+7+3
20=10+6+4
20=9+8+3
20=9+7+4
20=9+6+5
20=8+7+5
20=10+7+2+1
20=10+6+3+1
20=10+5+4+1
20=10+5+3+2
20=9+8+2+1
20=9+7+3+1
20=9+6+4+1
20=9+6+3+2
20=9+5+4+2
20=8+7+4+1
20=8+7+3+2
20=8+6+5+1
20=8+6+4+2
20=8+5+4+3
20=7+6+5+2
20=7+6+4+3
20=10+4+3+2+1
20=9+5+3+2+1
20=8+6+3+2+1
20=8+5+4+2+1
20=7+6+4+2+1
20=7+5+4+3+1
20=6+5+4+3+2
31
0 0
Press any key to continue
（3）主调函数优化。
前面给出的主函数中采用一个循环简单调用递归函数。
for (i=1;i<=m;i++)
{
a[0]=i;
comb(a,m,i,s);
}
循环变量i代表拆分式中零数的个数，其范围从1到m。这样会进行大量无效的搜索。
以程序运行示例中的s=20，m=10进行分析说明。
要把指定的正整数 20 拆分为1~10之和，主函数中零数个数从1取到10进行搜索。实际上，最大的两个数之和10+9=19小于20，最小的6个数之和 1+2+3+4+5+6=21大于20。也就是说，拆分式中零数的个数只可能是3、4、5这3种情况。因此，前面循环中无需对i的取值1,2,6,7,8,9,10这些情况进行递归处理，而递归的核心是从1~m这m个数中取i个数的进行组合。这样，相当于少处理了C(10,1)+C(10,2)+C(10,6)+C(10,7)+C(10,8)+C(10,9)+C(10,10)=10+45+210+120+45+10+1=441种情况。
主函数的优化思路是：对于给定的和数s与最大零数m，首先计算拆分式中零数的最少个数min与零数的最多个数max，显然，拆分式中零数的个数I取在区间[min，max]中。
按这个思路将主函数修改如下：
int main()
{
int a[100],s,m,i,t,min,max;
while (cin>>s>>m && s!=0)
{
cnt=0;
for (t=0,i=1;i<=m;i++)
{
t=t+i;
if (t>s) { max=i-1; break;}
else if (t==s) { max=i; break; }
}
if(i>m) // 输入的最大零数太小
{
cout<<"输入的最大零数太小！1~"<<m<<"的和为"<<t<<",小于"<<s<<endl;
continue;
}
for (t=0,i=1;i<=m;i++)
{
t=t+(m-i+1);
if (t>s) { min=i; break;}
else if (t==s) { min=i; break; }
}
for (i=min;i<=max;i++)
{
a[0]=i;
comb(a,m,i,s);
}
cout<<cnt<<endl;
}
return 0;
}
【例3】拆分为指定整数之和。
把指定正整数s拆分为m个指定整数b1,b2…,bm之和，共有多少种不同的拆分法？输出所有这些拆分式。
例如，输入 零数的个数m=6
依次由小到大输入指定零数分别为：1，2，3，5，6，9
输入和数 s=15。
程序应输出拆分式为：
15= 9+ 6
15= 9+ 5+ 1
15= 9+ 3+ 2+ 1
15= 6+ 5+ 3+ 1
（1）编程思路。
定义一个数组b保存指定的零数。可以在例2程序的基础上，b数组的下标用a数组的值替代。求和过程中把例2程序中对a数组元素的求和 t=t+a[j] 改为对b数组元素求和 t=t+b[a[j]]，其中a[j]为b数组的下标。
（2）源程序。
#include <iostream>
using namespace std;
int cnt=0;
void comb(int a[],int m,int k,int s,int b[])
{
int i,j,t;
for(i=m;i>=k;i--)
{
a[k]=i;
if(k>1)
comb(a,i-1,k-1,s,b);
else
{
for(t=0,j=a[0];j>0;j--)
t=t+b[a[j]];
if(t==s)
{
cnt++; cout<<s<<"=";
for(j=a[0];j>1;j--)
cout<<b[a[j]]<<"+";
cout<<b[a[1]]<<endl;
}
}
}
}
int main()
{
int a[100],b[100],s,m,i,t,min,max;
cout<<"输入零数的个数：";
while (cin>>m && m!=0)
{
cnt=0;
cout<<"依次由小到大输入指定的整数：";
for(i=1;i<=m;i++)
cin>>b[i];
cout<<"输入和数为：";
cin>>s;
for (t=0,i=1;i<=m;i++)
{
t=t+b[i];
if (t>s) { max=i-1; break;}
else if (t==s) { max=i; break; }
}
if(i>m)
{ cout<<"输入的指定整数的和为"<<t<<",小于"<<s<<endl;
continue;
}
for (t=0,i=1;i<=m;i++)
{
t=t+b[m-i+1];
if (t>s) { min=i; break;}
else if (t==s) { min=i; break; }
}
for (i=min;i<=max;i++)
{
a[0]=i;
comb(a,m,i,s,b);
}
cout<<cnt<<endl;
}
return 0;
}