单调性优化dp

单调性优化dp主要有2种：

1.dp本身的单调性。dp有多种取值，取某一部分有一个分界线。

使用这个性质可以快速计算dp值

这种dp的性质一般只能靠猜。也能通过思考，打表得来。

例题有：

IOI2018 会议

CF573E

NOIP2019 划分

2.决策单调性。

决策单调性通常用于1d-1d dp。它的转移方程通常是：$f[i]=min(f[j]+w(i+1,j))$或$f[i]=max(f[j]+w(i+1,j))$

对于$a<b<c<d$，当b转移到c比a转移到c优，则b转移到d比a转移到d优

从这个可以推出一个结论：不可能出现i<j，且i的决策点位置>j的决策点，实际上就是决策点是有序的

实际上就是如下2个公式：

$f[b]+w(b+1,c)<f[a]+w(a+1,c)$

$f[b]+w(b+1,d)<f[a]+w(a+1,d)$

联立得到

$w(b+1,c)-w(b+1,d)<w(a+1,c)-w(a+1,d)$

$w(b+1,c)+w(a+1,d)<w(a+1,c)+w(b+1,d)$

实际上会发现，当$mathrm{w} (i, j + 1) + mathrm{w} (i + 1, j)leqmathrm{w} (i, j) + mathrm{w} (i + 1, j + 1)$时上面的公式是成立的。

如果设$f(i)=w(i,j)-w(i,j+1)$，则上面的式子变成了$f(i)>=f(i+1)$，就是当i<j时，$f(i)>=f(j)$

所以可以得到$f(b+1)<=f(a+1)$，$w(b+1,j)-w(b+1,j+1)<=w(a+1,j)-w(a+1,j+1)$

$w(b+1,j)-w(a+1,j)<=w(b+1,j+1)-w(a+1,j+1)$

如果设$g(j)=w(b+1,j)-w(a+1,j)$，容易得到$g(i)<=g(i+1)$，就是当i<j时，$g(i)<=g(j)$

则$g(c)<=g(d)$，$w(b+1,c)-w(a+1,c)<=w(b+1,d)-w(a+1,d)$

$w(b+1,c)+w(a+1,d)<=w(a+1,c)+w(b+1,d)$

证明了上面的命题。

决策单调性大多数只能靠猜，打表得到。

维护有2种方法：分治法，二分队列法。

分治法的核心代码是：（从f转移到g）

void fz(int l,int r,int x,int y){
    if(l>r||x>y)return;
    int o,md=(l+r)/2;
    for(int i=x;i<=min(md,y);i++)
        if(f[i]+val(i+1,md)<g[md]){
            g[md]=f[i]+qu(i+1,md);
            o=i;
        }
    fz(l,md-1,x,o);
    fz(md+1,r,o,y);
}

它的意义是：

现在的决策点被锁定在区间[x,y]，现在要确定md的决策点，则扫一遍[x,y]

则由于决策点的有序性，[l,md-1]的决策点被锁定在[x,o]内，[md+1,r]被锁定在[o,r]内，继续分治下去可以得到f数组，一次时间复杂度nlogn

优点：代价函数的移动次数是nlogn的。这样在一些题目内可以保证复杂度，且代码容易写。

缺点：必须保证更新g的数组f没有依赖。

二分队列法的核心代码是：

q[1]=(no){1,n,0};
for(int i=1;i<=n;i++){
    f[i]=cl(i,q[h].s);
    la[i]=q[h].s;
    if(q[h].l==q[h].r)h++;
    else q[h].l++;
    while(h<=t&&cl(q[t].l,q[t].s)>cl(q[t].l,i))t--;
    if(h>t)q[++t]=(no){i+1,n,i};
    else{
        int l=q[t].l+1,r=q[t].r+1;
        while(l<r){
            int md=(l+r)/2;
            if(cl(md,q[t].s)>cl(md,i))r=md;
            else l=md+1;
        }
        q[t].r=l-1;
        if(l<=n)q[++t]=(no){l,n,i};
    }
}

其中队列的结构体是存储连续的相同的决策点。

每次插入一个点并且更新队列，在队列中二分出被更新的决策点。

优点：dp数组之间可以有依赖

缺点：必须保证一次计算代价函数的时间复杂度较小，否则复杂度会退化。且代码比分治法更难写。

例题：

uoj285（没做）

诗人小G

CF868F

除此之外，带四边形不等式的dp也可以带权二分，详见https://www.cnblogs.com/Itst/p/12805678.html