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  • 一个线代的问题

    【 在 kaoyan (A u ready?) 的大作中提到: 】
    : 是99年试题
    : A是一个二阶方阵,试证:如果有矩阵B使得AB-BA=A,则A^2=0
    发信人: researchmonk (蛰伏中...), 信区: Kaoyan
    标  题: Re: [CS]一个线代的问题
    发信站: 北大未名站 (2003年01月05日09:47:01 星期天), 站内信件

    证:
    左乘A A^2*B-A*B*A = A^2
    右乘A A*B*A-B*A^2 = A^2
    相加:A^2*B - B*A^2 = A^2

    所以:tr(A) = tr(AB-BA) = 0
          tr(A^2) = tr(A^2*B-B*A^2) = 0

    A^2的特征值是A的特征值的平方
    特征值的和等于迹 
    因此,A的特征值为0   (西格马的每一项都是平方的形式)

    所以存在X可逆 A = X^(-1) * J * X    J为A的若当标准型,J的对角线元素为0
    所以 A^2 = X^(-1) * J^2 * X

    如果A是n阶,那么,J^n = 0
    可以推出 A^n = X^(-1) * J^n * X = X^(-1) * 0 * X = 0

    特别的, n = 2 ,有, A^2 = 0
     

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/cutepig/p/884257.html
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