机器学习(3)：信息论

 

1.信息熵

给定概率密度函数(p(x))， 定义该函数的信息熵
(H(p)=H[mathbf{x}]=-int{p(mathbf{x})lnp(mathbf{x})dmathbf{x}})
信息熵描述了分布的混乱程度。均匀分布是使得信息熵最大的概率分布。单点的冲击响应函数对应的信息熵最小 

2.相对熵

给定两个概率密度函数(p(x))和(q(x)) ,描述二者之间的差异（距离），定义相对熵

(KL(p||q)=-int{p(mathbf{x}) extbf{ln}q(mathbf{x})dmathbf{x}}-(-int{q(mathbf{x}) extbf{ln}p(mathbf{x})dmathbf{x}}) \
KL(p||q)=-int{p(x)lnleft { frac{q(mathbf{x})}{p(mathbf{x})} ight }})

对任意概率分布(KL(p||q)geqslant 0)， 等号当且仅当 (p=q)。


3.互信息

对于两个随机变量(x,y) ，定义二者之间的互信息

(I[x,y]=KL(p(x,y)||p(x)p(y)=-iint{p(x,y)lnleft ( frac{p(x)p(y)}{p(x,y)} ight )dxdy})

若(x,y) 相互独立，则互信息为0，二者相互无关

(I[x,y]=H[x]-H[x|y]=H[y]-H[y|x])

4.交叉熵及深度学习的应用

给定两个概率密度函数(p(x))和(q(x))，定义(p(x)) 关于(q(x)) 的交叉熵

(H(p,q)=E_{p}(-lnq)=-int{p(x) ln q(x) dx}=H(p)+KL(p||q))

交叉熵作为logistic、 softmax回归的代价函数，常应用神经网络的输出层。