风控模型—WOE与IV指标的深入理解应用
风控业务背景
在评分卡建模流程中，WOE（Weight of Evidence）常用于特征变换，IV（Information Value）则用来衡量特征的预测能力。风控建模同学可能都很熟悉这两者的应用，但我们仍然可能疑惑诸如“如何调整WOE分箱？“、“WOE与LR之间的关系？”这些问题。
很多文章都已经讨论过这一命题，本文吸取归纳了前人的优秀成果，以期对WOE和IV给出一套相对完整的理论解释。主要创新点在于：
- 用图表可视化展示WOE和IV指标的计算过程和业务含义，适用于快速入门实践的读者。
- 从信息论、贝叶斯理论角度来阐述其中蕴含的数学原理，适用于希望加深理解的读者。
目录
Part 1. WOE和IV的应用价值
Part 2. WOE和IV的计算步骤
Part 3. WOE定义的初步猜想
Part 4. 从贝叶斯角度理解WOE
Part 5. WOE与评分卡的渊源
Part 6. 从相对熵角度理解IV
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参考资料
Part 1. WOE和IV的应用价值
WOE（Weight of Evidence）叫做证据权重，大家可以思考下为什么会取这个名字？
那么WOE在业务中常有哪些应用呢？
- 处理缺失值：当数据源没有100%覆盖时，那就会存在缺失值，此时可以把null单独作为一个分箱。这点在分数据源建模时非常有用，可以有效将覆盖率哪怕只有20%的数据源利用起来。
- 处理异常值：当数据中存在离群点时，可以把其通过分箱离散化处理，从而提高变量的鲁棒性（抗干扰能力）。例如，age若出现200这种异常值，可分入“age > 60”这个分箱里，排除影响。
- 业务解释性：我们习惯于线性判断变量的作用，当x越来越大，y就越来越大。但实际x与y之间经常存在着非线性关系，此时可经过WOE变换。
IV（Information Value）是与WOE密切相关的一个指标，常用来评估变量的预测能力。因而可用来快速筛选变量。在应用实践中，其评价标准如下：
在此引用一段话来说明两者的区别和联系：
1. WOE describes the relationship between a predictive variable and a binary target variable.
2. IV measures the strength of that relationship.
Part 2. WOE和IV的计算步骤
在定性认识到WOE和IV的应用价值后，我们就慢慢揭开其面纱，从理性角度进行分析。通常其公式定义如下：
而IV的计算公式定义如下，其可认为是WOE的加权和。为什么会定义成这样？
为帮助大家理解，现以具体数据介绍WOE和IV的计算步骤，如图1所示。
- step 1. 对于连续型变量，进行分箱（binning），可以选择等频、等距，或者自定义间隔；对于离散型变量，如果分箱太多，则进行分箱合并。
- step 2. 统计每个分箱里的好人数(bin_goods)和坏人数(bin_bads)。
- step 3. 分别除以总的好人数(total_goods)和坏人数(total_bads)，得到每个分箱内的边际好人占比(margin_good_rate)和边际坏人占比(margin_bad_rate)。
- step 4. 计算每个分箱里的
- step 5. 检查每个分箱（除null分箱外）里woe值是否满足单调性，若不满足，返回step1。注意⚠️：null分箱由于有明确的业务解释，因此不需要考虑满足单调性。
- step 6. 计算每个分箱里的IV，最终求和，即得到最终的IV。
备注：好人 = 正常用户，坏人 = 逾期用户
图 1 - WOE和IV计算
另外还需要注意什么呢？
- 分箱时需要注意样本量充足，保证统计意义。
- 若相邻分箱的WOE值相同，则将其合并为一个分箱。
- 当一个分箱内只有好人或坏人时，可对WOE公式进行修正如下：
在实践中，我们还需跨数据集检验WOE分箱的单调性。如果在训练集上保持单调，但在验证集和测试集上发生翻转而不单调，那么说明分箱并不合理，需要再次调整。下图是合理的WOE曲线变化示例。
图 2 - 左为训练集WOE曲线，右为测试集WOE曲线（都单调）
这里提前给大家留下问题：为什么要保持WOE曲线要保持单调性？在某些情况下是不是可以不满足单调性？是不是线性就更好？WOE曲线的斜率是否越陡越好？
Part 3. WOE定义的初步猜想
为了搞清楚为什么WOE公式是如此定义的，我们尝试对其进行各种变换。
WOE = ln (第i个分箱的坏人数 / 总坏人数) - ln (第i个分箱的好人数 / 总好人数)
此时可以理解为：每个分箱里的坏人分布相对于好人分布之间的差异性。
我们对公式再变换为：
WOE = ln (第i个分箱的坏人数 / 第i个分箱的好人数) - ln (总坏人数 / 总好人数)
此时可以理解为：每个分箱里的坏好比(Odds)相对于总体的坏好比之间的差异性。
但是，为什么要再套一个对数ln？
之前看到一种解释是为了进行平滑处理。那么为什么不引入拉普拉斯平滑，也就是在分子分母中都加上一个数？如果加上1，那么公式推导如下：
此时含义是：总体good_rate相对于分箱内good_rate的倍数。
其实发现这种形式会更符合我们的直觉。因此，“取对数是为了平滑处理”——这种解释无法说服我们。
同时，我们又会疑惑为什么不把WOE定义为：
因此，我们发现无法通过常规思维去理解这一切，于是开始去寻找新的工具。
Part 4. 从贝叶斯角度理解WOE
贝叶斯理论认为我们认知世界是一个循序渐进的过程，首先我们有一个主观的先验认知，进而不断通过观测数据来修正先验认知，得到后验认知。随着这个过程不断迭代，我们对世界的认识也就越来越完善。其中，从观测数据中提取信息来支撑我们的原始假设就是WOE。
在信贷风控中，识别好人和坏人也是同样的道理。我们根据历史样本数据形成一个先验认知：
当Odds小于1时，预测为Good的概率更高，此时我们认为一般情况下都是好人。但实际中样本会受到各种因素（自变量）影响而导致变坏。
因此，我们就开始搜集样本的各种特征，希望这些证据能帮助我们对这个样本全貌有更为全面的理解，进而修正我们的先验认识。这个过程用公式可以表达如下。提示：留意两侧为什么会取自然对数ln，而不是log？
其中， 表示后验项；
表示根据观测数据更新信息，即WOE；
表示先验项。
如果搜集到的数据与先验认知的差距不大，我们就认为这个数据中得到的证据价值不大，反之则认为带来的信息越多。因此，WOE用以衡量对先验认识修正的增量，这就是WOE被取名为“证据权重”的原因。
Part 5. WOE与评分卡模型的渊源
评分卡模型基于假设“历史样本和未来样本服从同一总体分布”，故而才能从历史样本中归纳出数理统计规律来预测未来样本的表现。评分卡通常采用逻辑回归（Logistics Regression）进行建模，其原因有很多，比如可解释性、简单模型、小样本学习等等。
小样本学习？
我们从“数据->信息->知识->决策”框架来解释完整的流程。
- step 1. 从不同信道里获取了观测数据（Data），并从中提取了特征X。
- step2. 此时发现各渠道采集的信息并不在一个尺度上，无法融合。因此，我们通过WOE变换对信息进行处理，将其对标到统一尺度上。
- step3. LR模型对不同信息采用不同权重(weight)进行加权融合，并通过sigmoid函数映射为0～1的概率。
- step4. 基于LR模型的输出结果，人工进行决策，判定好人还是坏人。
图 3 - LR模型
初识WOE是在评分卡模型中，当时仍不懂它们之间的关系。我们可能会疑惑，WOE是在建立评分卡理论时应运而生，还是属于一种通用的信息变换方法？
为了简化处理，我们只考虑一个自变量 ，那么评分卡模型的形式为：
我们可以观察到WOE公式与LR左边部分是如此相似。回到贝叶斯角度解释WOE时留下的提示——两侧为什么会取自然对数ln，而不是log？
在评分卡模型中我们就得到了一种可能的解释，主要是为了适配于LR模型。
接下来解释WOE曲线需要保持单调性的意义。
首先，引入Odds（几率）概念：
，P为预测为1的概率。Odds越大，代表预测为1的概率越高。
然后我们把相邻两个分箱的WOE值相减。
在上述等式中，权重w可以认为是常数，因此我们会发现：
- 分子和分母的变化趋势一致，当WOE单调递增时，分子中ln(odds)也是单调变化，由此P(Y=Bad)也是单调变化。
- 当分母变化越大时，分子也会变化越大，宏观表现就是WOE曲线越陡。此时，好人与坏人的区分将会越明显。
Part 6. 从相对熵角度理解IV
在《稳定性评估指标深入理解应用》一文里，我们从相对熵（KL散度）角度理解了PSI的数学原理。
我们会留意到下面三者好像都和“信息”有关系，那这三者之间存在怎样的联系呢？
信息熵（Shannon entropy）、相对熵（relative entropy）、 信息量（Information Value）
因此，我们把PSI、IV的计算公式放在一起进行对比，希望能观察出一些线索。
我们会发现两者形式上是完全一致的，这主要是因为它们背后的支撑理论都是相对熵。我们可以归纳为：
1. PSI衡量预期分布和实际分布之间的差异性，IV把这两个分布具体化为好人分布和坏人分布。IV指标是在从信息熵上比较好人分布和坏人分布之间的差异性。
图 4 - 好人与坏人分布对比
2. PSI和IV在取值范围与业务含义的对应上也是存在统一性，只是应用场景不同——PSI用以判断变量稳定性，IV用以判断变量预测能力。
图 5 - PSI和iV指标的含义对比