Codeforces 908D New Year and Arbitrary Arrangement（概率DP，边界条件处理）

题目链接  Goodbye 2017 Problem D

题意  一个字符串开始，每次有$frac{pa}{pa+pb}$的概率在后面加一个a，$frac{pb}{pa+pb}$的概率在后面加一个$b$。

　　 求当整个串中有至少$k$个$ab$的时候（不需要连续，下同），字符串中$ab$个数的期望。

 

设$f[i][j]$为字符串有$i$个$a$，$j$个$ab$的时候字符串中$ab$个数的期望

设$p = frac{pa}{pa+pb}$, $q = frac{pb}{pa+pb}$

那么对于正常的情况（非边界情况），

$f[i][j] = f[i+1][j] * p + f[i + 1][i + j] * q$

对于边界情况，即当$i + j >= k$且$j < k$的时候，这个时候再加一个$a$就满足了题意的条件。

这个情况下$f[i][j] - i - j$应该都是一样的。令$f[i][j] - i - j = c$。

$c = pq + 2p^{2}q + 3p^{3}q + ... + ...$

时间复杂度$O(n^{2})$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define rep(i, a, b)	for (int i(a); i <= (b); ++i)
#define dec(i, a, b)	for (int i(a); i >= (b); --i)

const int N   = 1e3 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;

int f[N][N];
int k, pa, pb, A, B, C;

void gcd(int a, int b, int &x, int &y){
	if (!b) {x = 1; y = 0;}
	else { gcd(b, a % b, y, x); y -= x * (a / b);}
}

int inv(int a){
        int x, y;
        gcd(a, mod, x, y);
        return (x % mod + mod) % mod;
}

int main(){

	scanf("%d%d%d", &k, &pa, &pb);
	A = 1ll * pa * inv(pa + pb) % mod;
	B = (1 - A + mod) % mod;
	C = 1ll * pa * inv(pb) % mod;
	dec(i, k, 1){
		dec(j, k, 0){	
			f[i][j] = i + j >= k ? (i + j + C) % mod: (1ll * A * f[i + 1][j] + 1ll * B * f[i][i + j]) % mod;
		}
	}

	printf("%d
", f[1][0]);
	return 0;
}