算法很美 笔记 12.图结构

12.图结构

1. 图基础

定义和基本术语

• 图(graph)是一种网状数据结构，图是由非空的顶点集合和一个描述顶点之间关系的集合组成。

• 图由顶点和边组成，顶点表示对象，,边表示两个对象间的连接关系。

• 图大体分两种，边没有指向性的叫无向图，边具有指向性的叫有向图。

• 边可以带权值，称为带权图。

无向图术语

• 两个顶点之间如果有边连接,视为两个顶点相邻

• 相邻顶点的序列称为路径

• 起点和终点重合的路径称为圈，特殊路径

• 任意两点之间都存在路径连接的图称为连通图

• 顶点连接的边数叫做这个顶点的度

树与图

• 没有圈的连通图，就是树

• 没有圈的非连通图，就是森林

• 一棵树的边数等于顶点数-1

• 边数等于顶点数-1的连通图，就是树

有向图的术语

• 没有圈的有向图，叫做DAG (Directed Acyclic Graph,有向无环图）

• 拓扑排序定义:将DAG中的顶点以线性方式进行排序。即对于任何自顶点u到顶点v的有向边u->v ,在最后的排序结果中，顶点u总是在顶点v的前面。这样的排序结果，称为拓扑序。

2. 图的表示

邻接矩阵(adjacency matrix )

• 无向图的邻接矩阵是对称矩阵，有向时不一定;

• 不带权时用1/0表示是否有边;带权时，数值就是权值

邻接表(adjacency list)

• 邻接表更加节约空间

• 但是，查询两点是否有边需遍历链表

• 而且，保存权值需要另外存储一个边集

3. dfs及相关问题

题1:四连通检测

给定一个方阵，定义连通：上下左右相邻，并且值相同。可以想象成一张地图，不同的区域被涂以不同颜色。
输入：整数N, (N<50)表示矩阵的行列数，接下来N行，每行N个字符，代表方阵中的元素，接下来一个整数M，(M<1000)表示询问数接下来M行，每行代表一个询问，格式为4个整数，y1,x1,y2,x2，表示询问(第y1行,第x1列) 与 (第y2行,第x2列) 是否连通。连通输出true，否则false

输入:
10
0010000000
0011100000
0000111110
0001100010
1111010010
0000010010
0000010011
0111111000
0000010000
0000000000
3
0 0 9 9
0 2 6 8
4 4 4 6
输出：
false
true
true

public class 图的dfs_连通检测 {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int N = scanner.nextInt();
        scanner.nextLine();
        char[][] graph = new char[N][N];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            graph[i] = scanner.nextLine().toCharArray();
        }
        int M = scanner.nextInt();
        int[][] query = new int[M][4];
        for (int i = 0; i < M; i++) {
            for (int j = 0; j < 4; j++) {
                query[i][j] = scanner.nextInt();
            }
        }
        // M个起点和终点
        for (int i = 0; i < M; i++) {
            //对每个起点和终点，检查是否连通
            boolean ok = check(graph, new int[N][N], query[i]);
            System.out.println(ok);
        }
    }

    /**
     * 检查两个坐标点在这个图中是否连通
     * @param graph 原始图
     * @param label 标记
     * @param points 起点和终点的坐标 x1 y1 x2 y2
     * @return
     */
    private static boolean check(char[][] graph, int[][] label, int[] points) {
        int x1 = points[0];
        int y1 = points[1];
        int x2 = points[2];
        int y2 = points[3];
        //起点和终点重合了，就可以返回true
        if (x1 == x2 && y1 == y2) {
            return true;
        }

        int value = graph[x1][y1];
        boolean f1 = false;
        boolean f2 = false;
        boolean f3 = false;
        boolean f4 = false;
        //往左走，1.不能走出去，2.左边的位置没有被访问过，3.左边位置上的值要和现在的值相同
        if (x1 - 1 >= 0 && label[x1 - 1][y1] == 0 && graph[x1 - 1][y1] == value) {
            label[x1 - 1][y1] = 1; // 坐标的位置标记为已访问
            points[0] = x1 - 1; // 把左边的点作为新起点，递归
            f1 = check(graph, label, points);
            //回溯
            label[x1 - 1][y1] = 0;
            points[0] = x1;
        }
        //往右走
        if (x1 + 1 < graph.length && label[x1 + 1][y1] == 0 && graph[x1 + 1][y1] == value) {
            label[x1 + 1][y1] = 1;
            points[0] = x1 + 1;
            f2 = check(graph, label, points);
            label[x1 + 1][y1] = 0;
            points[0] = x1;
        }
        //往上走
        if (y1 - 1 >= 0 && label[x1][y1 - 1] == 0 && graph[x1][y1 - 1] == value) {
            label[x1][y1 - 1] = 1;
            points[1] = y1 - 1;
            f3 = check(graph, label, points);
            label[x1][y1 - 1] = 0;
            points[1] = y1;
        }
        //往下走
        if (y1 + 1 < graph.length && label[x1][y1 + 1] == 0 && graph[x1][y1 + 1] == value) {
            label[x1][y1 + 1] = 1;
            points[1] = y1 + 1;
            f4 = check(graph, label, points);
            label[x1][y1 + 1] = 0;
            points[1] = y1;
        }
        return f1 || f2 || f3 || f4;
    }
}

4.bfs及相关问题

5.题解