欧几里得空间，希尔伯特空间，巴拿赫空间或者是拓扑空间都属于函数空间。函数空间 = 元素 + 规则 ，即一个函数空间由元素 与元素所满足的规则 定义，而要明白这些函数空间的定义首先得从距离，范数，内积，完备性等基本概念说起。
1、度量空间：定义了距离的空间。
具体的距离：实际上距离除了我们经常用到的直线距离外，还有向量距离， 函数距离、 曲面距离、折线距离等等。
距离就是一个抽象的概念，其定义为：
设X是任一非空集，对X中任意两点x,y，有一实数d(x,y)与之对应且满足：
1. d(x,y) ≥0，且d(x,y)=0当且仅当x=y;
2. d(x,y)=d(y,x);
3. d(x,y) ≤d(x,z)+d(z,y)。欧几里
称d(x,y)为X中的一个距离。
2、线性空间、向量空间
定义了距离后，我们再加上线性结构，如向量的加法、数乘，使其满足加法的交换律、结合律、零元、负元；数乘的交换律、单位一；数乘与加法的结合律（两个）共八点要求，从而形成一个线性空间，这个线性空间就是向量空间。
3、赋范空间
定义了范数，是绝对值（形式|a-b|）的延伸，是对向量、函数和矩阵定义的一种距离度量形式，如距离D(a,b)=||a−b||。
在向量空间中，我们定义了范数的概念，表示某点到空间零点的距离：
1. ||x|| ≥0;
2. ||ax||=|a|||x||;
3. ||x+y||≤||x||+||y||。
将范数与距离比较，可知，范数比距离多了一个条件2，数乘的运算，表明其是一个强化了的距离概念。范数与距离的关系可以类似理解为与红富士苹果与苹果的关系。
接下来对范数和距离进行扩展，形成如下：
范数的集合⟶ 赋范空间 +线性结构⟶线性赋范空间
距离的集合⟶ 度量空间 +线性结构⟶线性度量空间
4、内积空间、欧氏空间
下面在已经构成的线性赋范空间上继续扩展，添加内积运算，使空间中有角的概念，形成如下：
线性赋范空间+内积运算⟶ 内积空间；
这时的内积空间已经有了距离、长度、角度等，有限维的内积空间也就是我们熟悉的欧氏空间。
什么是欧几里得空间？
古希腊数学家欧几里得创建了距离和角之间联系的法则——欧几里得几何，由二维平面几何可扩展成三维，再到有限维度抽象几何空间，称为欧几里得空间。其中维度是描述空间内一个点所需参量的个数——坐标数，例如三维空间中的点a=(x1,x2,x3)。
若把人的活动约束在学校，那么就是学校空间，同理，对点和几何结构进行各种约束，就构成了不同的数学空间。
至此，在各种约束条件下，有限维度+度量+线性+范数+内积=欧几里得空间。看似复杂的定义，其实就是一种约束的空间。
5、希尔伯特空间
继续在内积空间上扩展，使得内积空间满足完备性，形成希尔伯特空间如下：
内积空间+完备性⟶ 希尔伯特空间
当欧几里德空间不再局限于有限维，就是希尔伯特空间——无限维度完备线性内积空间。完备指的是，空间中的极限运算衍生的所有可能点都包含于空间本身——柯西序列等价于收敛序列，简言之，合理即存在。
无限维度的向量（x1,x2,x3...xn）意味着有任意个独立坐标，可以用函数表达，两个无限维度的向量的内积等价于两个函数的积分。例如傅里叶变换，一种频率函数对应一个坐标，时域中每个点都可以在频域中展开成各种频率的函数。如此一来，欧几里得空间就演变成希尔伯特空间。
6、巴拿赫空间
此外，前面提到的赋范空间，使其满足完备性，扩展形成巴拿赫空间如下：
赋范空间+完备性⟶ 巴拿赫空间
以上均是在距离的概念上进行添加约束形成的，递增关系如下：
距离⟶范数⟶内积
向量空间+范数⟶ 赋范空间+线性结构⟶线性赋范空间+内积运算⟶内积空间+完备性⟶希尔伯特空间
内积空间+有限维⟶欧几里德空间
赋范空间+完备性⟶巴拿赫空间顺便提以下，对距离进行弱化，保留距离的极限和连续概念，就形成拓扑的概念。
参考：https://blog.csdn.net/weixin_36811328/article/details/81207753&希尔伯特空间，数学空间的神秘之地