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  • 单色三角形问题

    给定空间里n(n<=1000)个点,假设任意三个点都不共线。

    将任意两点之间的连线涂上红色或者黑色。

    问3条边同色的三角形个数。

    分析:

      由于三角形总数C(n,3),所以求出异色三角形个数就求出了同色三角形个数。

      我们发现这样的对应关系,一个异色三角形存在两个顶点,该三角形中与它们相邻的两边是不同色的;而对从一个顶点出发的两条异色边都属于一个异色三角形。这是个一对二的关系。

      设第i个点连接了ai条红边、n-1-ai条黑边,这些边一定属于ai(n-1-ai)个不同的异色三角形。由于异色三角形都会被考虑两次,所以最终的答案为sigma(i from 1 to n)ai(n-1-ai)/2

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