数字梯形问题 |
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description |
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给定一个由n 行数字组成的数字梯形如下图所示。梯形的第一行有m 个数字。从梯形的顶部的m 个数字开始，在每个数字处可以沿左下或右下方向移动，形成一条从梯形的顶至底的路径。
规则1：从梯形的顶至底的m条路径互不相交。
规则2：从梯形的顶至底的m条路径仅在数字结点处相交。
规则3：从梯形的顶至底的m条路径允许在数字结点相交或边相交。
2 3
3 4 5
9 10 9 1
1 1 10 1 1
1 1 10 12 1 1
对于给定的数字梯形，分别按照规则1，规则2，和规则3 计算出从梯形的顶至底的m条路径，使这m条路径经过的数字总和最大。
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input |
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多组数据输入.
每组输入第1 行中有2个正整数m和n（m,n<=20），分别表示数字梯形的第一行有m个数字，共有n 行。接下来的n 行是数字梯形中各行的数字。第1 行有m个数字，第2 行有m+1 个数字，…。
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output |
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每组输出规则1，规则2，和规则3 计算出的最大数字总和,每行一个最大总和。
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2 5
2 3
3 4 5
9 10 9 1
1 1 10 1 1
1 1 10 12 1 1
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sample_output |
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【问题分析】
求图的最大权不相交路径及其变种，用费用最大流解决。
【建模方法】
规则(1)
把梯形中每个位置抽象为两个点<i.a>,<i.b>，建立附加源S汇T。
1、对于每个点i从<i.a>到<i.b>连接一条容量为1，费用为点i权值的有向边。
2、从S向梯形顶层每个<i.a>连一条容量为1，费用为0的有向边。
3、从梯形底层每个<i.b>向T连一条容量为1，费用为0的有向边。
4、对于每个点i和下面的两个点j，分别连一条从<i.b>到<j.a>容量为1，费用为0的有向边。
求最大费用最大流，费用流值就是结果。
规则(2)
把梯形中每个位置看做一个点i，建立附加源S汇T。
1、从S向梯形顶层每个i连一条容量为1，费用为0的有向边。
2、从梯形底层每个i向T连一条容量为无穷大，费用为0的有向边。
3、对于每个点i和下面的两个点j，分别连一条从i到j容量为1，费用为点i权值的有向边。
求最大费用最大流，费用流值就是结果。
规则(3)
把梯形中每个位置看做一个点i，建立附加源S汇T。
1、从S向梯形顶层每个i连一条容量为1，费用为0的有向边。
2、从梯形底层每个i向T连一条容量为无穷大，费用为0的有向边。
3、对于每个点i和下面的两个点j，分别连一条从i到j容量为无穷大，费用为点i权值的有向边。
求最大费用最大流，费用流值就是结果。
【建模分析】
对于规则1，要求路径完全不相交，也就是每个点最多只能被访问了一次，所以要把点拆分，之间连接容量为1的边。因为任意一条ST之间的路径都是一个解，在拆分的点内部的边费用设为点的权值，求最大费用最大流就是费用最大的m条路经。
对于规则2，要求路径可以相交，但不能有重叠，此时可以不必拆点了。为了保证路径没有重叠，需要在相邻的两个点上限制流量为1，由于顶层的每个点只能用1次，S向顶层点流量限制也为1。费用只需设在相邻点的边上，求最大费用最大流即可。
对于规则3，要求路径除了顶层每个点以外可以任意相交重叠。在规则2的基础上，取消除S到顶层顶点之间的边以外所有边的流量限制即可。
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#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int OO=1e9;//无穷大
const int maxm=1111111;//边的最大数量，为原图的两倍
const int maxn=11111;//点的最大数量
int node,src,dest,edge;//node节点数，src源点，dest汇点，edge边数
int head[maxn],p[maxn],dis[maxn],q[maxn],vis[maxn];//head链表头，p记录可行流上节点对应的反向边，dis计算距离
struct edgenode
{
int to;//边的指向
int flow;//边的容量
int cost;//边的费用
int next;//链表的下一条边
} edges[maxm];
void prepare(int _node,int _src,int _dest);
void addedge(int u,int v,int f,int c);
bool spfa();
void prepare(int _node,int _src,int _dest)
{
node=_node;
src=_src;
dest=_dest;
for (int i=0; i<node; i++)
{
head[i]=-1;
vis[i]=0;
}
edge=0;
}
void addedge(int u,int v,int f,int c)
{
edges[edge].flow=c;
edges[edge].cost=f;
edges[edge].to=v;
edges[edge].next=head[u];
head[u]=edge++;
edges[edge].flow=0;
edges[edge].cost=-f;
edges[edge].to=u;
edges[edge].next=head[v];
head[v]=edge++;
}
bool spfa()
{
int u,v,r=0;
for (int i=0; i<node; i++) dis[i]=OO;
q[r++]=src;
dis[src]=0;
p[src]=p[dest]=-1;
for (int l=0; l!=r; ((++l>=maxn)?0:l))
{
u=q[l];
vis[u]=0;
for (int i=head[u]; i!=-1; i=edges[i].next)
{
v=edges[i].to;
if (edges[i].flow&&dis[v]>dis[u]+edges[i].cost)
{
dis[v]=dis[u]+edges[i].cost;
p[v]=i^1;
if (!vis[v])
{
q[r++]=v;
vis[v]=true;
if (r>=maxn) r=0;
}
}
}
}
return p[dest]>-1;
}
int spfaflow()
{
int ret=0,delta;
while (spfa())
{
//按记录原路返回求流量
delta=OO;
for (int i=p[dest]; i>=0; i=p[edges[i].to])
{
if (edges[i^1].flow<delta) delta=edges[i^1].flow<delta;
}
for (int i=p[dest]; i>=0; i=p[edges[i].to])
{
edges[i].flow+=delta;
edges[i^1].flow-=delta;
}
ret+=delta*dis[dest];
}
return ret;
}
int map[100][100];
int cod[100][100];
int main()
{
int n,m;
int cnt;
while (~scanf("%d%d",&m,&n))
{
cnt=0;
for (int i=1; i<=n+1; i++)
{
for (int j=1; j<=m+i-1; j++)
{
cnt++;
if (i<=n) scanf("%d",&map[i][j]);
else map[i][j]=0;
cod[i][j]=cnt;
}
}
int num=m*n+(n*n-n)/2;
//one
prepare((m*n+(n*n-n)/2)*2+2,0,(m*n+(n*n-n)/2)*2+1);
for (int i=1; i<=n; i++)
{
for (int j=1; j<=m+i-1; j++)
{
addedge(cod[i][j],cod[i][j]+num,-map[i][j],1);
if (i==1)
{
addedge(src,cod[i][j],0,1);
}
if (i<n)
{
addedge(cod[i][j]+num,cod[i+1][j],0,1);
addedge(cod[i][j]+num,cod[i+1][j+1],0,1);
}
else
{
addedge(cod[i][j]+num,dest,0,1);
}
}
}
int ans=-spfaflow();
printf("%d\n",ans);
//two
prepare(num+2+m+n,0,num+1);
for (int i=1;i<=n+1;i++)
{
for (int j=1;j<=m+i-1;j++)
{
if (i==1) addedge(src,cod[i][j],0,1);
if (i<=n)
{
addedge(cod[i][j],cod[i+1][j],-map[i][j],1);
addedge(cod[i][j],cod[i+1][j+1],-map[i][j],1);
}
if (i==n+1)
{
addedge(cod[i][j],dest,0,OO);
}
}
}
ans=-spfaflow();
printf("%d\n",ans);
//three
prepare(num+2+m+n,0,num+1);
for (int i=1;i<=n+1;i++)
{
for (int j=1;j<=m+i-1;j++)
{
if (i==1) addedge(src,cod[i][j],0,1);
if (i<=n)
{
addedge(cod[i][j],cod[i+1][j],-map[i][j],OO);
addedge(cod[i][j],cod[i+1][j+1],-map[i][j],OO);
}
if (i==n+1)
{
addedge(cod[i][j],dest,0,OO);
}
}
}
ans=-spfaflow();
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}