线性规划与网络流24题 3最小路径覆盖问题 NEFU 481

最小路径覆盖问题

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description

    给定有向图G=(V,E)。设P 是G 的一个简单路（顶点不相交）的集合。如果V 中每个顶点恰好在P 的一条路上，则称P是G 的一个路径覆盖。P 中路径可以从V 的任何一个顶点开始，长度也是任意的，特别地，可以为0。G 的最小路径覆盖是G 的所含路径条数最少
的路径覆盖。
设计一个有效算法求一个有向无环图G 的最小路径覆盖。
提示：设V={1，2，...; ，n}，构造网络G1=(V1,E1)如下：

每条边的容量均为1。求网络G1的（x0 , y0 ）最大流。
对于给定的给定有向无环图G，编程找出G的一个最小路径覆盖。
							

input

多组数据输入.
每组输入第1 行有2个正整数n<=200和m。n是给定有向无环图G 的顶点数，m是G 的边数。接下来的m行，每行有2 个正整数i和j，表示一条有向边(i,j)。
							

output

每组输出最少路径数。

							

sample_input

11 12
1 2
1 3
1 4
2 5
3 6
4 7
5 8
6 9
7 10
8 11
9 11
10 11
							

sample_output

3

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分析（引用 BYvoid大牛的分析）：
有向无环图最小路径覆盖，可以转化成二分图最大匹配问题，从而用最大流解决。
建模方法:
构造二分图，把原图每个顶点 i拆分成二分图X，Y集合中的两个顶点 Xi和 Yi。对于原图中存在的每条边(i,j)，在二分图
中连接边(Xi,Yj)。然后把二分图最大匹配模型转化为网络流模型，求网络最大流。
最小路径覆盖的条数，就是原图顶点数，减去二分图最大匹配数。沿着匹配边查找，就是一个路径上的点，输出所有路径即可。
建模分析:
对于一个路径覆盖，有如下性质：
1、每个顶点属于且只属于一个路径。
2、路径上除终点外，从每个顶点出发只有一条边指向路径上的另一顶点。
所以我们可以把每个顶点理解成两个顶点，一个是出发，一个是目标，建立二分图模型。该二分图的任何一个匹配方案，都
对应了一个路径覆盖方案。如果匹配数为0，那么显然路径数=顶点数。每增加一条匹配边，那么路径覆盖数就减少一个，所以路
径数=顶点数 - 匹配数。要想使路径数最少，则应最大化匹配数，所以要求二分图的最大匹配。
注意，此建模方法求最小路径覆盖仅适用于有向无环图，如果有环或是无向图，那么有可能求出的一些环覆盖，而不是路径
覆盖。

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#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int OO=1e9;//无穷大
const int maxm=1111111;//边的最大数量，为原图的两倍
const int maxn=11111;//点的最大数量

int node,src,dest,edge;//node节点数，src源点，dest汇点，edge边数
int head[maxn],work[maxn],dis[maxn],q[maxn];//head链表头，work临时表头，dis计算距离

struct edgenode
{
    int to;//边的指向
    int flow;//边的容量
    int next;//链表的下一条边
} edges[maxm];

//初始化链表及图的信息
void prepare(int _node,int _src,int _dest)
{
    node=_node;
    src=_src;
    dest=_dest;
    for (int i=0; i<node; i++) head[i]=-1;
    edge=0;
}

//添加一条从u到v容量为c的边
void addedge(int u,int v,int c)
{
    edges[edge].flow=c;
    edges[edge].to=v;
    edges[edge].next=head[u];
    head[u]=edge++;
    edges[edge].flow=0;
    edges[edge].to=u;
    edges[edge].next=head[v];
    head[v]=edge++;
}

//广搜计算出每个点与源点的最短距离，如果不能到达汇点说明算法结束
bool Dinic_bfs()
{
    int u,v,r=0;
    for (int i=0; i<node; i++) dis[i]=-1;
    q[r++]=src;
    dis[src]=0;
    for (int l=0; l<r; l++)
    {
        u=q[l];
        for (int i=head[u]; i!=-1; i=edges[i].next)
        {
            v=edges[i].to;
            if (edges[i].flow&&dis[v]<0)
            {
                //这条边必须要有剩余流量
                q[r++]=v;
                dis[v]=dis[u]+1;
                if (v==dest) return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

//寻找可行流的增广路算法，按节点的距离来找，加快速度
int Dinic_dfs(int u,int exp)
{
    int v,tmp;
    if (u==dest) return exp;
    //work是临时链表头，这里用 i引用它，这样寻找过的边不再寻找
    for (int &i=work[u]; i!=-1; i=edges[i].next)
    {
        v=edges[i].to;
        if (edges[i].flow&&dis[v]==dis[u]+1&&(tmp=Dinic_dfs(v,min(exp,edges[i].flow)))>0)
        {
            edges[i].flow-=tmp;
            edges[i^1].flow+=tmp;
            //正反向边容量改变
            return tmp;
        }
    }
    return 0;
}

//求最大流直到没有可行流
int Dinic_flow()
{
    int ret=0,tmp;
    while (Dinic_bfs())
    {
        for (int i=0; i<node; i++) work[i]=head[i];
        while ( tmp=Dinic_dfs(src,OO) ) ret+=tmp;
    }
    return ret;
}


int main()
{
    int n,m,ans,maxflow;
    while (scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        prepare(n+n+2,0,n+n+1);
        for (int i=1; i<=m; i++)
        {
            int x,y;
            cin>>x>>y;
            addedge(x,y+n,1);
        }
        for (int i=1; i<=n; i++)
        {
            addedge(src,i,1);
            addedge(i+n,dest,1);
        }
        maxflow=Dinic_flow();
        ans=n-maxflow;
        printf("%d\n",ans);
    }


    return 0;
}