数字三角形从顶到底的最大路径和

问题描述：

           7

       3       8

   8       1        0

2      7       4          4

      在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，使得路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或右下走。只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。

      三角形的行数大于1小于等于100，数字为0~99.

输入格式：

4 ///三角形的行数。下面是三角形

7

3 8

8 1 0

2 7 4 4

要求输出最大和

第一种方法：利用递归（超时，原因是重复计算，时间复杂度是2ⁿ）

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define Max 101
using namespace std;
int D[Max][Max];
int n;
int MaxSum(int i,int j)
{
    if(i==n)
        return D[i][j];
    int x=MaxSum(i+1,j);
    int y=MaxSum(i+1,j+1);
    return max(x,y)+D[i][j];
}
int main()
{
    int i,j;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=i;j++)
    {
        cin>>D[i][j];
    }
    cout<<MaxSum(1,1)<<endl;
    return 0;
}

第二种方法是动态规划（用数组存放已经计算出来的值，避免重复计算，时间复杂度是n²）

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define Max 101
int D[Max][Max];
int n;
int maxSum[Max][Max];
int MaxSum(int i,int j)
{
    if(maxSum[i][j]!=-1)
        return maxSum[i][j];
    if(i==n)
        maxSum[i][j]=D[i][j];
    else
    {
        int x=MaxSum(i+1,j);
        int y=MaxSum(i+1,j+1);
        maxSum[i][j]=max(x,y)+D[i][j];
    }
    return maxSum[i][j];
}
int main()
{
    int i,j;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=i;j++)
    {
        cin>>D[i][j];
        maxSum[i][j]=-1;
    }
    cout<<MaxSum(1,1)<<endl;
    return 0;
}

 第三种方法：递归改为递推，从底往上计算

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define Max 101
int D[Max][Max];
int n;
int maxSum[Max][Max];
int main()
{
    int i,j;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=i;j++)
            cin>>D[i][j];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        maxSum[n][i]=D[n][i];
    for(int i=n-1;i>=1;i--)
        for(int j=1;j<=i;j++)
    {
        maxSum[i][j]=max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1])+D[i][j];
    }
    cout<<maxSum[1][1]<<endl;
    return 0;
}

第四种方法：进行空间优化 将二维数组转变为一维数组向上翻滚

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define Max 101
int D[Max][Max];
int n;
int *maxSum;
int main()
{
    int i,j;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=i;j++)
    {
        cin>>D[i][j];
    }
    maxSum=D[n];////maxSum指向第n行
    for(int i=n-1;i>=1;i--)
        for(int j=1;j<=i;j++)
    {
        maxSum[j]=max(maxSum[j],maxSum[j+1])+D[i][j];
    }
    cout<<maxSum[1]<<endl;
    return 0;
}

第五种方法是直接利用D[n]代替int maxsum[n]
第二种方法到第五种方法的时间复杂度都是n*n。