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Matrix

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题目描述

小 z 的女朋友送给小 z 一个 n × n 的矩阵。但是矩阵实在太大了，小 z 的女朋友拿不动，只能带给他两个长度为 n 的整数序列 l, t ，分别作为矩阵 F 的第一行和第一列（保证 l1 = t1 ），并且告诉小 z 矩阵可以通过如下方式得到：
Fi,j = a · Fi,j−1 + b · Fi−1,j
现在小 z 猜到了系数 a,b ，他想要计算 Fn,n 模 109 + 7 的值

输入

第一行三个整数 n, a, b.
第二行 n 个数表示 l.
第三行 n 个数表示 t

输出

一行一个整数表示答案    

样例输入

4 3 5
4 1 7 3
4 7 4 8

样例输出

59716

提示

对于前 40% 的数据，n ≤ 5000;
对于另外 20% 的数据，a = 0;
对于 100% 的数据，n, a, v, li, ti ≤ 105

---

　　分析：

　　 大力推公式。

　　反正就从给定的公式下手，可以推出$f[n][n]$与$f[1][1 hicksim n]$和$f[1 hicksim n][1]$的关系，当然很显然需要用到组合。

　　实际上，$f[n][n]$只由$f[1][1 hicksim n]$和$f[1 hicksim n][1]$中的元素得到，并且从$f[1][1 hicksim n]$和$f[1 hicksim n][1]$的任一元素转移到$f[n][n]$的转移方式都是唯一的，这里推导过程就不再写了，直接写出结论：

$f[n][n]=sum^n_{i=1}(f[1][i]*a^{n-1}*b^{n-i}*C^{n*2-i-2}_{n-2})+sum^n_{i=1}(f[i][1]*a^{n-i}*b^{n-1}*C^{n*2-i-2}_{n-2})$

　　Code：

//It is made by HolseLee on 25th Oct 2018
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define mod (1000000007)
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll N=2e5+7;
ll n,tot,A,B,x[N],y[N],a[N],b[N],aa[N],bb[N],ans;

inline ll read()
{
    char ch=getchar(); ll num=0; bool flag=false;
    while( ch<'0' || ch>'9' ) {
        if( ch=='-' ) flag=true; ch=getchar();
    }
    while( ch>='0' && ch<='9' ) {
        num=num*10+ch-'0'; ch=getchar();
    } 
    return flag ? -num : num;
}

void ready()
{
    tot=(n-2)<<1;
    a[0]=a[1]=b[0]=b[1]=1; aa[0]=bb[0]=1, aa[1]=A, bb[1]=B;
    for(ll i=2; i<=tot; ++i) b[i]=b[i-1]*i%mod;
    for(ll i=2; i<=tot; ++i) a[i]=(mod-mod/i)*a[mod%i]%mod;
    for(ll i=2; i<=tot; ++i) a[i]=a[i]*a[i-1]%mod;
    for(ll i=2; i<=n; ++i) aa[i]=aa[i-1]*A%mod;
    for(ll i=2; i<=n; ++i) bb[i]=bb[i-1]*B%mod;
}

inline ll getx(ll i)
{    
    ll ret=x[i]*aa[n-1]%mod*bb[n-i]%mod;
    ret=ret*b[tot-i+2]%mod*a[tot-n-i+4]%mod*a[n-2]%mod;
    return ret;
}

inline ll gety(ll i)
{    
    ll ret=y[i]*bb[n-1]%mod*aa[n-i]%mod;
    ret=ret*b[tot-i+2]%mod*a[tot-n-i+4]%mod*a[n-2]%mod;
    return ret;
}

int main()
{
    n=read(); A=read(), B=read();
    ready();
    for(ll i=1; i<=n; ++i) x[i]=read();
    for(ll i=1; i<=n; ++i) y[i]=read();
    for(ll i=2; i<=n; ++i) {
        ans=(ans+getx(i))%mod;
    }
    for(ll i=2; i<=n; ++i) {
        ans=(ans+gety(i))%mod;
    }
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}