逆元（数论倒数）【密码学笔记】

数论倒数，又称逆元

取模

对于取模，有一下一些性质：

但是唯独除法是不满足的：

为什么除法错的呢？很好证明：

而对于一些题目，我们必须在中间过程中进行求余，否则数字太大，电脑存不下，那如果这个算式中出现除法，我们就需要逆元了。

逆元

定义：

我们知道，如果a*x = 1，那么x是a的倒数，x = 1/a

而在数论问题中，大部分情况都有取模，所以问题就变成了：

这时x在数值上就不一定等于我们常规意义上的1/a了，我们可以理解为要求在0,1,2……p-1之间找一个数，是的这个数和a相乘后再取模p，得到的结果为1。

现在就要在回到刚才的问题了，除以一个数等于乘上这个数的倒数，在除法取余的情况下，就是乘上这个数的逆元，即：

这样就把除法，完全转换为乘法了。

逆元的求解

对于逆元的求解，如果n较小的话，是容易算出来的，例如，求3在模26下的逆元：

但是当n非常大的时候，就需要引入一个算法来计算

（1）扩展欧几里得算法（extend_gcd）

对于逆元的表达式可以做一些变换：

 

 当gcd(a,n)=1时，代入extend_gcd(a,n,x,y)，得到的非负的x值，就是a对模n的逆元。

算法实现与证明

也就是说，我们得到了一个和gcd算法中，gcd(m,n)=gcd(n,m%n)相似的恒等式

 什么意思呢？举个例子，就是

 如果想要x为正值，根据

 只再做一步：

if (x < 0) {
    x += b; y -= a;
}

扩展：

完整算法：

int extend_gcd(int a, int b, int& x, int& y) {
    if (b == 0) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int q = extend_gcd(b, a % b, x, y);
    int temp = x;
    x = y;
    y = temp - a / b * y;
    return q;
}

（2）费马小定理

如果p是一个质数，并且gcd(a,p)=1

两边同除以 a

所以

用快速幂求一下，复杂度O(logn)

（3）不知道叫啥

当p为质数时有

证明：

写成算法就是一个递归，到1为止，因为1的逆元就是1

int inv(int t, int p) {
    return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p;
}

这个方法复杂度是O(n)，但并不是说比前两个差，它可以在O(n)的复杂度内算出n个数的逆元，上面的算法加一个记忆性搜索就行了

int inv(int t, int p) {
    return INV[t] = t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p;
}