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平衡树

P3369 【模板】普通平衡树

题目描述

您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作：

插入 x 数
删除 x 数(若有多个相同的数，因只删除一个)
查询 x 数的排名(排名定义为比当前数小的数的个数 +1 )
查询排名为 x 的数
求 x 的前驱(前驱定义为小于 x，且最大的数)
求 x 的后继(后继定义为大于 x，且最小的数)

输入格式

第一行为 n，表示操作的个数,下面 n 行每行有两个数 opt和 x，opt表示操作的序号( 1≤opt≤6 )

输出格式

对于操作 3,4,5,6 每行输出一个数，表示对应答案

输入输出样例

输入 #1

输出 #1

106465
84185
492737

说明/提示

【数据范围】
对于 100% 的数据，1≤n≤(10^5)，∣x∣≤(10^7)

(Splay)板子：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

inline long long read() {
    long long s = 0, f = 1; char ch;
    while(!isdigit(ch = getchar())) (ch == '-') && (f = -f);
    for(s = ch ^ 48;isdigit(ch = getchar()); s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48));
    return s * f;
}

const int N = 1e5 + 5, inf = 1e9;
int n, tot, root;
struct node { int fa, val, cnt, siz, son[2]; } t[N]; //son[0/1]表示左右儿子

void up(int x) {
    t[x].siz = t[x].cnt + t[t[x].son[0]].siz + t[t[x].son[1]].siz;
}

void rotate(int x) {
    int y = t[x].fa, z = t[y].fa, k = t[y].son[1] == x;
    if(z) t[z].son[t[z].son[1] == y] = x; t[x].fa = z;
    t[y].son[k] = t[x].son[k ^ 1]; t[t[x].son[k ^ 1]].fa = y;
    t[x].son[k ^ 1] = y; t[y].fa = x;
    up(y); up(x);
}

void Splay(int x, int goal) {
    if(goal == 0) root = x;
    while(t[x].fa ^ goal) {
        int y = t[x].fa, z = t[y].fa;
        if(z ^ goal) (t[y].son[1] == x) ^ (t[z].son[1] == y) ? rotate(x) : rotate(y); 
        rotate(x);
    }
}

void Insert(int x) {
    int u = root, Fa = 0;
    while(u && t[u].val ^ x) Fa = u, u = t[u].son[x > t[u].val];
    if(u) t[u].cnt++;
    else {
        u = ++tot;
        if(Fa) t[Fa].son[x > t[Fa].val] = u;
        t[u].val = x; t[u].siz = 1; t[u].cnt = 1;
        t[u].fa = Fa; t[u].son[0] = t[u].son[1] = 0;
    }
    Splay(u, 0);
}

void Find(int x) {
    int u = root;
    if(!u) return ;
    while(t[u].son[x > t[u].val] && t[u].val ^ x) u = t[u].son[x > t[u].val];
    Splay(u, 0);
}

int pre_nxt(int x, bool f) {
    Find(x);
    if(t[root].val < x && !f) return root;
    if(t[root].val > x && f) return root;
    int u = t[root].son[f];
    while(t[u].son[f ^ 1]) u = t[u].son[f ^ 1];
    return u;
}

void Delete(int x) {
    int nxt = pre_nxt(x, 1), pre = pre_nxt(x, 0);
    Splay(pre, 0); Splay(nxt, pre);
    int u = t[nxt].son[0];
    if(--t[u].cnt == 0) t[nxt].son[0] = 0, t[t[nxt].fa].siz--;
    else Splay(u, 0);
}

int Kth(int k) {
    int u = root;
    while(1) {
        if(t[t[u].son[0]].siz + t[u].cnt < k) {
            k -= t[t[u].son[0]].siz + t[u].cnt;
            u = t[u].son[1];
        }
        else if(t[t[u].son[0]].siz >= k) u = t[u].son[0];
        else return t[u].val;
    }
}

int main() {

    n = read();
    Insert(-inf); Insert(inf);
    for(int i = 1, x, opt;i <= n; i++) {
        opt = read(); x = read();
        if(opt == 1) { Insert(x); }
        else if(opt == 2) { Delete(x); }
        else if(opt == 3) { Find(x); printf("%d
", t[t[root].son[0]].siz); }
        else if(opt == 4) { printf("%d
", Kth(x + 1)); } //因为插入了-inf，所以要加1
        else printf("%d
", t[pre_nxt(x, opt == 6)].val);
    }

    return 0;
}

这一行：

if(z ^ goal) (t[y].son[1] == x) ^ (t[z].son[1] == y) ? rotate(x) : rotate(y);

这是(Splay)的双旋，目的是减小时间复杂度，因为减小了层数。

浅谈Splay的双旋

这一行：

int nxt = pre_nxt(x, 1), pre = pre_nxt(x, 0);
Splay(pre, 0); Splay(nxt, pre);

我们在删除一个节点(x)的时候，把(x)的前驱转到根，把(x)的后继转到根的下方，这时会发现：(x)就是后继的左儿子，并且(x)没有子树，这样删点就很舒服。

这一块：

void rotate(int x) {
    int y = t[x].fa, z = t[y].fa, k = t[y].son[1] == x;
    if(z) t[z].son[t[z].son[1] == y] = x; t[x].fa = z;
    t[y].son[k] = t[x].son[k ^ 1]; t[t[x].son[k ^ 1]].fa = y;
    t[x].son[k ^ 1] = y; t[y].fa = x;
    up(y); up(x);
}

这里写图片描述

就是从左图旋转到右图。

其中(t[x].son[k xor 1])就是图中绿色的的部分。

P1533 可怜的狗狗

题目链接

就是平衡树板子题，涉及加点，删点，求第(k)大值。

对于每个询问排个序，这样加点或删点的时候移动的次数少一点，不会超时。

#include <bits/stdc++.h>

#define int long long
    
using namespace std;
    
inline long long read() {
    long long s = 0, f = 1; char ch;
    while(!isdigit(ch = getchar())) (ch == '-') && (f = -f);
    for(s = ch ^ 48;isdigit(ch = getchar()); s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48));
    return s * f;
}
    
const int N = 1e6 + 5;
const long long inf = 1e13;
int n, m, tot, root;
int a[N], ans[N];
struct node { int fa, val, cnt, siz, son[2]; } t[N];
struct ques { int l, r, k, id; } q[N];

bool cmp(ques a, ques b) {
    return a.l < b.l;
}

void up(int x) {
    t[x].siz = t[x].cnt + t[t[x].son[0]].siz + t[t[x].son[1]].siz;
}

void rotate(int x) {
    int y = t[x].fa, z = t[y].fa, k = t[y].son[1] == x;
    if(z) t[z].son[t[z].son[1] == y] = x; t[x].fa = z;
    t[y].son[k] = t[x].son[k ^ 1]; t[t[x].son[k ^ 1]].fa = y;
    t[x].son[k ^ 1] = y; t[y].fa = x;
    up(y); up(x);
}

void Splay(int x, int goal) {
    if(goal == 0) root = x;
    while(t[x].fa ^ goal) {
        int y = t[x].fa, z = t[y].fa;
        if(z ^ goal) (t[y].son[1] == x) ^ (t[z].son[1] == y) ? rotate(x) : rotate(y);
        rotate(x);
    }
}

void Insert(int x) {
    int u = root, Fa = 0;
    while(u && t[u].val ^ x) Fa = u, u = t[u].son[x > t[u].val];
    if(u) t[u].cnt++;
    else {
        u = ++tot;
        if(Fa) t[Fa].son[x > t[Fa].val] = u;
        t[u].val = x; t[u].cnt = t[u].siz = 1;
        t[u].fa = Fa; t[u].son[0] = t[u].son[1] = 0;
    }
    Splay(u, 0);
}

void Find(int x) {
    int u = root;
    if(!u) return ;
    while(t[u].son[x > t[u].val] && t[u].val ^ x) u = t[u].son[x > t[u].val];
    Splay(u, 0);
}

int pre_nxt(int x, bool f) {
    Find(x);
    if(t[root].val < x && !f) return root;
    if(t[root].val > x && f) return root;
    int u = t[root].son[f];
    while(t[u].son[f ^ 1]) u = t[u].son[f ^ 1];
    return u;
}

void Delete(int x) {
    int nxt = pre_nxt(x, 1), pre = pre_nxt(x, 0);
    Splay(pre, 0); Splay(nxt, pre);
    int u = t[nxt].son[0];
    if(--t[u].cnt == 0) t[nxt].son[0] = 0, t[t[nxt].fa].siz--;
    else Splay(u, 0);
}

int Kth(int k) {
    int u = root;
    while(1) 
        if(t[t[u].son[0]].siz + t[u].cnt < k) {
            k -= t[t[u].son[0]].siz + t[u].cnt;
            u = t[u].son[1];
        }
        else if(t[t[u].son[0]].siz >= k) u = t[u].son[0];
        else return t[u].val;
    }
}

signed main() {
    
    // freopen("a.in","r",stdin); freopen("a.out","w",stdout);

    n = read(); m = read();
    for(int i = 1;i <= n; i++) a[i] = read();
    for(int i = 1;i <= m; i++) q[i].l = read(), q[i].r = read(), q[i].k = read(), q[i].id = i;
    sort(q + 1, q + m + 1, cmp);

    int x = 1, y = 0;
    Insert(-inf); Insert(inf);
    for(int i = 1;i <= m; i++) {
        while(x > q[i].l) { x--; Insert(a[x]); }
        while(y < q[i].r) { y++; Insert(a[y]); }
        while(x < q[i].l) { Delete(a[x]); x++; }
        while(y > q[i].r) { Delete(a[y]); y--; }
        ans[q[i].id] = Kth(q[i].k + 1);
    }

    for(int i = 1;i <= m; i++) printf("%lld
", ans[i]);

    return 0;
}

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