数组之特殊矩阵的压缩储存

数组是大家已经很熟悉的一种数据类型，几乎所有的程序设计语言都把数组类型定为固有类型，在这我就不再介绍数组的基础知识（如：定义等知识）了。下面我们直接看矩阵的储存，一般情况下，矩阵使用二维数组储存的，但是，对于数据量非常大的矩阵，这样储存就显得乏力了，又浪费空间资源，下面我们就看看有没有更好的储存方法呢。很明显，我们可以用一位数组压缩储存有些矩阵，下面就来研究几个特殊矩阵吧。

（1）对称矩阵

若n阶矩阵A中的元素满足下述性质：a_ij=a_ji   0<=i,j<=n-1则称为n阶对称矩阵。

很明显，我们只用为每一对对称元素分配一个储存空间，则可将n²个元素压缩储存到n(n+1)/2个元的空间中。

假设以一维数组a[n(n+1)/2]作为n阶对称矩阵的储存结构，则a[k]与矩阵元素之间存在着一一对应的关系：当i>=j时，k=i*(i+1)/2+j;当i<j时，k=j*(j+1)+i;

代码如下：

#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
int main()
{
    while(1)
    {
        int n,a[1000];
    cin>>n;
    cout<<"请输入"<<n*(n+1)/2<<"个数:";
    for(int i=0;i<n*(n+1)/2;i++)
        cin>>a[i];
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            if(i>=j)
                cout<<setw(3)<<a[i*(i+1)/2+j]<<" ";
            else
                cout<<setw(3)<<a[j*(j+1)/2+i]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    cout<<"节约"<<n*n-n*(n+1)/2<<"个空间."<<endl;
    }

    return 0;
}

（2）上、下三角矩阵

所谓上、下三件矩阵是指矩阵上（下）三角（不包括对角线）中的元素均为常数c或0的n阶矩阵。则除了和对称矩阵一样，只储存其下（上）三角中的元素之外，再加一个储存常数c的储存空间即可。

示例代码如下：

#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
int main()
{
    while(1)
    {
        int n,a[1000];
        cin>>n;
        cout<<"请输入"<<n*(n+1)/2+1<<"个数:";
        for(int i=0;i<n*(n+1)/2+1;i++)
            cin>>a[i];
     //上三角
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            if(i<=j)
                cout<<setw(3)<<a[(2*n-i+1)*i/2+(j-i)]<<" ";
            else
                cout<<setw(3)<<a[n*(n+1)/2]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    cout<<"节约"<<n*n-n*(n+1)/2-1<<"个空间."<<endl;
    }
    //下三角
     /*for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            if(i>=j)
                cout<<setw(3)<<a[i*(i+1)/2+j]<<" ";
            else
                cout<<setw(3)<<a[n*(n+1)/2]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }*/
    return 0;
}

（3）对角矩阵（带状矩阵）

对角矩阵是指所有的非0元素都集中在以主对角线为中心的袋装区域中，即除了主对角线上和直接在对角线上、下方若干条对角线上的元素之外，所有其他的元素皆为0。

假设对角矩阵的半宽为d,则对于n阶矩阵需要n*(2*d+1)-d*d-d+1个储存空间，原理与上面的几乎一样，就不重复了，下面看实现代码吧

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<iomanip>
using namespace std;
int main()
{
    int n,d,a[100],m;
    cin>>n>>d;
    cout<<"请输入"<<(n*(2*d+1)-d*d-d+1)<<"个数:";
    for(int i=0;i<n*(2*d+1)-d*d-d+1;i++)
        cin>>a[i];
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            if(fabs(i-j)<=d)
                cout<<setw(3)<<a[(i*(2*d+1)-d)+(j-i+d)]<<" ";
            else
                cout<<setw(3)<<a[n*(2*d+1)-d*d-d]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    cout<<"节约"<<n*n-(n*(2*d+1)-d*d-d+1)<<"个空间."<<endl;
    return 0;
}

上面是比较简单的矩阵压缩储存，更复杂的待续。。。。