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  • 康托展开总结

    这里写图片描述

    这是一个九宫格,里面只有1到9这9个数字。有一些题目涉及到八数码问题,也就是九宫格问题。在九宫格里我们自然想到用广搜去解决一些问题。可是广搜的状态怎么表示呢?

    可以用string啊,长度就是9个,每个字符就是相应的数字。上图就是”342157689” 但是string虽然方便但是却要消耗很多时间,答案是就是超时。那把它变成数字呢?那更爆炸,9位是十亿。其实9个数字的排列组合是9的阶乘,最多就30多万个。我们可以按照字典序将这些排列进行排序,那么自然 123456789就是第一位,最后一位是987654321。那么问题来了,342157689是排在第几位呢?这个时候,我们就隆重介绍康托展开了。

    康托展开的公式是X=a[n](n-1)!+a[n-1](n-2)!+…+a[i]*(i-1)!+…+a[1]*0!

    a[n]是以第n个数字开头的逆序数。通俗点就是第n个数字后面有多少个数字比它大。例如 342157689
    第1位是3,3 2和3 1有两个逆序数。所以a[1]=2;这样做的原因很简单,因为知道这个数字的逆序数,就知道这个数字是哪一个了。3的后面有两个数字比他小,那么第一个数字肯定是3。4的后面也有两个数字比他小,因为3已经确定了,那么4就是第三大的数字,所以第二位就确定是第三大的数字就是4了。也就是说这个式子a[n](n-1)!+a[n-1](n-2)!+…+a[i]*(i-1)!+…+a[1]*0,可以映射出唯一的一个九宫格,也就是这个九宫格的排名。

    当然我们这里以 123456789 为第一位,所1是第一位,2是第二位。如果我们让342175689为第一位,那么3就排第一,4就排第2,以此类推。
    这里给以123456789为第一位的康托展开模板,这样就简单一点,数字本身就是他的排名。大部分八数码题目就是以123456789为第一位

    /康托展开
    int kangtuo(int a[3][3])
    {
        int sum=0,num;
        for(int i=0;i<9;i++)
        {
            num=0;
            for(int j=i+1;j<9;j++)
            {
                if(a[i/3][i%3]>a[j/3][j%3])
                    num++;
            }
            sum+=num*fac[8-i];
        }
        return sum;
    }

    那么从九宫格可以映射到排名,当然从排名也可以映射到相应的九宫格。对(n-1)!取余就可以得到第n个数字的排名a[n],注意这个排名是以a[n]位开始的后面的数列的排名,前面确定都要不要考虑。知道排名就知道第n个数字是什么了。很简单,给一个模板,仍然是123456789位第一位

    void invkt(int k,int *s)
    {
        memset(vis2,0,sizeof(vis2));
        for(int i=1;i<=9;i++)
        {
            int t=k/fac[9-i];
            int j;
            for( j=1;j<=9;j++)
            {
                if(!vis2[j])
                {
                    if(t==0)
                        break;
                    t--;
                }
            }
            s[i]=j;
            vis2[j]=true;
            k%=fac[9-i];
        }
    }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/dacc123/p/8228762.html
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