编辑距离

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>

using namespace std;

int edit(string str1, string str2)
{
    int res;

    int n1 = str1.size();
    int n2 = str2.size();
    
    // 使用vector初始化二维数组方法
    vector<vector<int>> tmp(n1 + 1, vector<int>(n2 + 1));

    // if i == 0 且 j == 0，edit(i, j) = 0
    // if i == 0 且 j > 0，edit(i, j) = j
    // if i > 0 且j == 0，edit(i, j) = i
    for (int i = 0; i <= n1; i++){
        tmp[i][0] = i;
    }
    for (int i = 0; i <= n2; i++){
        tmp[0][i] = i;
    }

    for (int i = 1; i <= n1; i++){
        for (int j = 1; j <= n2; j++){
            // edit(i, j) == min{ edit(i - 1, j) + 1, edit(i, j - 1) + 1, edit(i - 1, j - 1) + E(i, j) }
            // str1[i-1] 对应第i个字符，str2[j-1] 对应第j个字符，但是距离记录数组的编号是i不是i-1
            // E(i, j) = (str1[i - 1] == str2[j - 1] ? 0 : 1)
            tmp[i][j] = min(min(tmp[i - 1][j] + 1, tmp[i][j - 1] + 1), tmp[i - 1][j - 1] + (str1[i - 1] == str2[j - 1] ? 0 : 1));
        }
    }

    cout << "**************************" << endl;
    for (int i = 0; i <= n1; i++){
        for (int j = 0; j <= n2; j++){
            cout << tmp[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << "**************************" << endl;

    return tmp[n1][n2];
}

int main()
{
    string str1 = "sailn";
    string str2 = "failing";

    cout << "dis is " << edit(str1, str2) << endl;

    return 0;
}

详细解释：

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编辑距离

关于两个字符串s1,s2的差别，可以通过计算他们的最小编辑距离来决定。

所谓的编辑距离: 让s1和s2变成相同字符串需要下面操作的最小次数。

1. 把某个字符ch1变成ch2

2. 删除某个字符

3. 插入某个字符

例如 s1 = “12433” 和s2=”1233”;

则可以通过在s2中间插入4得到12433与s1一致。

即 d(s1,s2) = 1 (进行了一次插入操作)

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编辑距离的性质

计算两个字符串s1+ch1, s2+ch2的编辑距离有这样的性质:

1. d(s1,””) = d(“”,s1) = |s1| d(“ch1”,”ch2”) = ch1 == ch2 ? 0 : 1;

2. d(s1+ch1,s2+ch2) = min( d(s1,s2)+ ch1==ch2 ? 0 : 1 ,d(s1+ch1,s2),d(s1,s2+ch2) );

第一个性质是显然的。

第二个性质: 由于我们定义的三个操作来作为编辑距离的一种衡量方法。

于是对ch1,ch2可能的操作只有

1. 把ch1变成ch2

2. s1+ch1后删除ch1 d = (1+d(s1,s2+ch2))

3. s1+ch1后插入ch2 d = (1 + d(s1+ch1,s2))

对于2和3的操作可以等价于:

_2. s2+ch2后添加ch1 d=(1+d(s1,s2+ch2))

_3. s2+ch2后删除ch2 d=(1+d(s1+ch1,s2))

因此可以得到计算编辑距离的性质2。

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复杂度分析

从上面性质2可以看出计算过程呈现这样的一种结构(假设各个层用当前计算的串长度标记，并假设两个串长度都为 n )

可以看到，该问题的复杂度为指数级别 3 的 n 次方，对于较长的串，时间上是无法让人忍受的。

分析: 在上面的结构中，我们发现多次出现了 (n-1,n-1), (n-1,n-2)……。换句话说该结构具有重叠子问题。再加上前面性质2所具有的最优子结构。符合动态规划算法基本要素。因此可以使用动态规划算法把复杂度降低到多项式级别。
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动态规划求解

首先为了避免重复计算子问题，添加两个辅助数组。

一. 保存子问题结果。

M[ |s1| ,|s2| ] , 其中M[ i , j ] 表示子串s1(0->i) 与 s2(0->j) 的编辑距离

二. 保存字符之间的编辑距离.

E[ |s1|, |s2| ] , 其中 E[ i, j ] = s[i] = s[j] ? 0 : 1

三. 新的计算表达式

根据性质1得到

M[ 0,0] = 0;

M[ s1i, 0 ] = |s1i|;

M[ 0, s2j ] = |s2j|;

根据性质2得到

M[ i, j ] = min( m[i-1,j-1] + E[ i, j ] , m[i, j-1] , m[i-1, j] );
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复杂度

从新的计算式看出，计算过程为

i=1 -> |s1|

j=1 -> |s2|

M[i][j] = ……

因此复杂度为 O( |s1| * |s2| ) ，如果假设他们的长度都为n，则复杂度为 O(n^2)
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参考：

编辑距离及编辑距离算法 - as_ - 博客园

http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/09/28/2707343.html

编辑距离 与 字符串匹配_nyykx_新浪博客

http://blog.sina.com.cn/s/blog_8e037f44010102jj.html

编辑距离问题 - 经典DP问题 - 这个人很懒 - 开源中国社区

http://my.oschina.net/mustang/blog/58125