算法 | 链表的应用，约瑟夫问题

在上篇文章我们已经对链表这种数据结构做了介绍，这篇文章我们主要通过几个链表实际应用的例子来进一步学习链表的相关知识

本文虽然主讲链表，但是对于涉及到的问题不仅仅会通过链表的方式解决，还会提供其他解法供读者思考

文章目录

• 约瑟夫问题：
• 自定义链表实现
• 递归及公式推导：
• 对于递归的思考：
• 思考题答案：

约瑟夫问题：

自定义链表实现

首先，我们看下什么是约瑟夫问题？

有 M 个人，其编号分别为 1－M。这 M 个人按顺序排成一个圈（如图）。现在给定一个

数 N，从第一个人开始依次报数，数到 N 的人出列，然后又从下一个人开始又从 1 开始依次
报数，数到 N 的人又出列．．．如此循环，直到最后一个人出列为止。输出每次出列的人的下标
【输入格式】
​ 输入只有一行，包括 2 个整数 M，N。之间用一个空格分开(0 < n <= m <= 100)。
【输出格式】
​ 输出只有一行，包括 M 个整数
【样列输入】
8 5
【样列输出】
5 2 8 7 1 4 6 3

我们稍加分析可以发现，这个问题非常适合用循环链表处理，每次遍历N个节点后，将节点删除，数据被删除节点的下标，同时继续向下遍历，因为我们是一个循环链表，再经过N个元素后，继续执行同样的操作就可以了，代码示例如下：

package com.study.spring.transaction.math;

import lombok.AllArgsConstructor;
import lombok.Data;

/**
 * @author dmz
 * @date Create in 23:36 2019/8/6
 */
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        CircleList circleList = new CircleList();
        circleList.add(1);
        circleList.add(2);
        circleList.add(3);
        circleList.add(4);
        circleList.add(5);
        circleList.add(6);
        circleList.add(7);
        circleList.add(8);
        calculateIndex(circleList, 5);
    }

    public static void calculateIndex(CircleList circleList, int period) {
        while (circleList.getSize() > 0) {
            CircleList.Node node = circleList.get(period);
            int remove = circleList.remove(node);
            System.out.println(remove);
        }
    }
}

/**
 * 构建一个环
 * 为了方便进行删除，
 * 我们使用双向循环链表
 */
@Data
class CircleList {
    // 环中数据的大小
    private int size;
    // 环的第一个节点
    private Node first;
    // 环的最后一个节点
    private Node last;
    // 下次开始的节点,默认从第一个节点开始
    private Node next;

    /**
     * 环中的每一个节点
     * 可以看到，我在定义时，每个节点都持有下一个节点的引用
     */
    @Data
    @AllArgsConstructor
    public class Node {
        int index;
        Node next;
        Node pre;

        @Override
        public String toString() {
            return "current index is " + index;
        }
    }

    /**
     * 向环中从尾部添加数据
     *
     * @param index 数据
     */
    public void add(int index) {
        Node node;
        if (size == 0) {
            // 此时环中没有数据
            node = new Node(index, null, null);
            first = node;
            last = node;
            first.next = last;
            last.pre = first;
        } else {
            // 将环中的最后一个节点指向添加的节点,同时新增的节点的尾指针指向头节点，构成循环链表
            node = new Node(index, first, last);
            last.next = node;
            // 链表的尾节点变成node
            last = node;
        }
        size++;
    }
	
    // 每次从当前节点往后遍历period单位个节点
    public Node get(int period) {
        if (next == null) {
            next = first;
        }
        for (int i = 0; i < period-1; i++) {
            next = next.next;
        }
        if (next == null) {
            throw new RuntimeException("环中无数据");
        }
        Node node = next;
        next = next.next;
        return node;
    }

    /**
     * 从环中删除指定节点
     *
     * @return 删除元素的下标
     */
    public int remove(Node node) {
        Node pre = node.pre;
        Node next = node.next;
        pre.next = next;
        next.pre = pre;
        size--;
        return node.index;
    }
}

执行结果如下：

5
2
8
7
1
4
6
3

可以发现，跟我们预期是一样的

在上面的示例中，我是自己实现了一个双向循环链表的结构，如果有的同学对链表不是很熟悉的话可以参考我的文章：数据结构 | 再也不怕被问链表了

这里对链表的相关知识不再赘述。之所以要使用双向循环链表，完全是为了加快删除的速度，利用空间换时间。

其实大家也可以使用JAVA中的LinkedList解决这个问题，我这里不直接给出答案，答案附在文末，大家可以先自行

思考。

可以说，到目前为止，我们已经学会了使用链表解决约瑟夫问题，还有没有其他的解决方案呢？

首先来说，通过数组我们也是可以实现的。思路跟通过链表其实是差不多的

另外我再介绍一个解法，递归：

递归及公式推导：

这部分比较难理解，我尽力讲得明白点，希望大家多多思考，有问题可以留言交流。

对于递归算法而言，最难的是推导出递归公式，我们以之前的例子为例：

现在有(A B C D E F G H)8个人，排列如下：

	A B C D E F G H
式1：0 1 2 3 4 5 6 7 

我们以5为周期，那么第一个出列的人就是4，出列后排列如下：

	A B C D F G H
式2：0 1 2 3 4 6 7 

那么，现在我们就要从6的位置上，继续往后数5个人，然后让其出列，就是变成了下面这样的形式

	F G H A B C D 
式3：5 6 7 0 1 2 3  

如果我们能将式3转换成式1这种形式，也就是形如下面这种形式：

// 经过一次出列后，现在剩下的只有7个人了
目标式：1 2 3 4 5 6 7 

如果，我们完成转换，那么计算这种情况下第一个人出列的公式为：（n为总人数，m为周期）

推导如下：

8个人，周期为5，第一次出列的人的下标为-------5；（5-1）% 8

7个人，周期为5，第一次出列的人的下标为-------5；（5-1）% 7

6个人，周期为5，第一次出列的人的下标为-------5；（5-1）% 6

5个人，周期为5，第一次出列的人的下标为-------5；（5-1）% 5

4个人，周期为5，第一次出列的人的下标为-------1；（5-1）% 4

3个人，周期为5，第一次出列的人的下标为-------2；（5-1）% 3

2个人，周期为5，第一次出列的人的下标为-------1；（5-1）% 2

1个人，周期为5，第一次出列的人的下标为-------1；（5-1）% 1

为了方便下面的讲解，

我们将目标式第一次出列的人记为：

f(7,5,1)（7代表总人数-1，5代表周期，1代表第一次出列）,同理，原式第二次出列的人记为：f(8,5,2)

总结公式：
$f(m,n,1) = (n-1) quad mod quad m$
上面的公式，就是我们递归时的界。

那么现在的问题就是，我们如何将式3转换成式1呢？

我们一步步来，首先，将其变为1开头的，不难发现，最好的办法就是将所有的数字减去5，这样式3就变成了下面这种形式：

1 2 3 -4 -3 -2 -1

但是现在出现了负数，跟我们期望的还是有很大差距，这个时候我们又要思考了，怎么才能将后面的几个负数，变成4 5 6 7这种形式呢？不难发现，我们可以直接加上8，转换后如下：

9 10 11 4 5 6 7 

现在好像又绕回来了，前面三个数又变了，我们期望的是1 2 3，那该怎么办呢？再去减8肯定不行了，又绕回去 了，那么我们不妨试试模运算，我们模8后发现式子变成了下面这种形式：

1 2 3 4 5 6 7

神不神奇，惊不惊喜？居然就成了我们目标式！！！

现在我们比较下，目标式中的人的下标，跟经过一次出列后所得式2的下标

	  F G H A B C D 
式3：  6 7 8 1 2 3 4 		
目标式：1 2 3 4 5 6 7 

我们可以发现，式3中跟目标式中的同一个人有不同的下标，并且它们的关系满足我们推导的流程
$1 = (6 - 5 + 8) mod 8\ 2 = (7 - 5 + 8) mod 8\ .......$
在上面我们进行的是一个正序推导，也就是说，我们是要先知道f(8,5,2)的值才能计算出f(7,5,1)的值，在上面的例子中，f(8,5,2) = 2 ,则经过我们上面的推导,f(7,5,1) = (2-5+8) mod 8 = 5

但是现在实际的问题是，我们并不知道f(8,5,2)的解，但我们知道f(7,5,1)的解 = （5-1） mod 7 + 1 = 5，也就是说我们要进行逆推才行。通过观察我们不难得出，逆推的公式为：
$6 = (1 + 5) mod 8\ 7 = (2 + 5) mod 8\ .......$
对其进行抽象就有
$f(m,n,k) = (f(m-1,n,k-1) + n ) quad mod quad m$
其中，m为总人数，n为周期，k为第几次出列，可以看出这个式子中，k一定大于1

现在我们已经有了递归的关系，同时有了递归的界，可以写代码如下：

public class DiGui {
    // m个人，n为周期，i步
    public static int di(int m, int n, int i) {
        // 这是我们递归的界
        if (i == 1) {
            return (n - 1) % m ;
        }
        // 递归公式
        return (di(m - 1, n, i - 1) + n ) % m;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int n = 5;
        int m = 8;
        // 依次输出
        // f(8,5,1) 8个人，周期为5，第一次出列的人
        // f(8,5,2) 8个人，周期为5，第二次出列的人
        for (int i = 1; i < m + 1; i++) {
            // 我们输出的是下标从0开始，对应队伍中人要加1
            System.out.println(di(m, n, i)+1);
        }
    }
}

对于递归的思考：

在上面的例子中，我们是通过步数来限定递归的界，也就是说8个人，最多8步就可以将所有的人都出队。我们可以思考下，还有没有另外一种方式可以限定递归的界呢？大家可以这样想，步数在递增的过程中，对应着的就是人数的递减，同时当只剩一个人的时候，f(1,n,i) = 0 。基于这种思想，我们可以写代码如下：

    public static void main(String[] args) {
        int n = 5;
        int m = 8;
        // 当i = 1 时，下标为0
        int lastOne = 0;
        // f(1,5,1) = 0
        // 依次输出 f(2,5,2)
        // 依次输出 f(3,5,3)
        // 依次输出 f(4,5,4)
        // 依次输出 f(5,5,5)
        // 依次输出 f(6,5,6)
        // 依次输出 f(7,5,7)
        // 计算出出 f(8,5,8)
        for (int i = 2; i <= m; i++) {
            lastOne = (lastOne + n) % i;
        }
        // 这样可以求出最后一个出列的人，我们是从0开始计算，也要加1
        System.out.println(lastOne+1);
    }

思考题答案：

// 这里我特地将注释删除了，希望大家多多思考
// 如果有更好的方法也可以给我留言，一起探讨
// 提供了两种解决方法，一种依赖迭代器，一种直接通过下标
public class YSF {
    public static void main(String[] args) {
        LinkedList<Integer> list = new LinkedList<>();
        for (int i = 1; i < 9; i++) {
            list.add(i);
        }
       // method01(list, 5);
        method02(list,5);
    }
	// 通过下标的方式解决
    private static void method01(LinkedList<Integer> list, int period) {
        // 从0开始遍历
        int index = 0;
        while (!list.isEmpty()) {
            for (int i = 1; i < period; i++) {
                if ((index == list.size() - 1)) {
                    index = 0;
                } else if ((index == list.size())) {
                    index = 0;
                    i--;
                } else {
                    index++;
                }
            }
            System.out.println(list.get(index));
            list.remove(index);
        }
    }
	// 通过迭代器的方式
    public static void method02(LinkedList<Integer> list, int period) {
        int count = 0;
        Iterator<Integer> iterator = list.iterator();
        while (list.size() > 0) {
            if (iterator.hasNext()) {
                Integer next = iterator.next();
                count++;
                if (count == period) {
                    iterator.remove();
                    count = 0;
                    System.out.println(next);
                }
            }else {
                iterator = list.iterator();
            }
        }
    }
}

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