扫描算法求最大子序列的一次简单非严格证明

先给出实现程序，如下：

int max_sub_sum2(const int v[],int n)
{
   int max=0;
   int currentSum=0;
   int i=0;

   for(i=0;i<n;i++)
   {
       currentSum+=v[i];
       if(currentSum>max)
       {
           max=currentSum;
       }
       else if(currentSum<0)
       {
           currentSum=0;
       }
   }

   return max;
}

扫描算法是Jon Bentley在编程珠玑里给出的名字，程序看起来非常简洁，不过简介并非意味着简单，至少在当时，问题的发现与提出者Ulf Grenander只想到了O(n²)的算法，而之后的Michael Shamos给出了分治算法，把复杂度降低到O(NlogN),当Bentley以及其它数学家都以为Shamos的算法最好的时候，卡梅隆大学的统计学家Jay Kadane发现了本文算法。

在这里我们至少能获得关于算法学习的一个重要启示：任何一个看似简单的算法都来之不易，只有经过广泛的研究和实践，你才能熟练地运用算法设计技术。这也是Bentley在编程珠玑八章深入阅读一节种所给出的建议。

该算法的复杂度很明显是O(N)，甚至无需证明。

但是为理解该算法，我们仍有必要简单分析证明一下该算法的正确性。

现在命题为：如上图所示序列A₁~A_N,最大子序列Ai-Aj,则该最大子序列一定可以由上述算法求得。

证明：

A[i~j]为最大子序列，则意味着A[i-1]<=0与A[j+1]>=02,论点(1)

且更可推导出A[1]+A[2]+…+A[i]<=0与A[j+1]+A[j+2]+…+A[N]<=0; 论点(2)

论点(2)亦可简单地由反证法推得，如二者任意之一若大于零，则很明显A[i~j]不是最大子序列，这与命题所给条件矛盾。

由论点(2)也可推导出A[i-1]与A[1~i-2]之间的任意子集之和皆<=0,也即|A[i-1]|>A[1]+…+A[i-2]，论点(3)

而论点(2)(3)的情况恰可由程序14~17行规避。

而程序10~13行计算的又是论点(2)(3)情况之后的子序列的最大值。max用来保存该最大值，currentSum则用来判断是否会出现下一个符合(2)(3)的位置出现，如出现，则该值被清零，并从新位置寻找下一个可能会超过max值的位置，以此归纳，可值命题得证，也即max就是最大子序列的值。