平面

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来源：牛客网

题目描述

小a的平面上有n个X型不明物体，但是他不确定他们的位置。现在请你来确定他们的位置，使得划分形成的平面尽量多

输入描述:

一个整数n，如题所示

输出描述:

一个整数，表示最多把平面分成多少份

示例1

输入

2

输出

11

说明

备注:

n ≤ 10⁹

【题解】

定理：n条直线最多能把空间划分为n(n-1)/2+1份。
我们可以把X型看做两条不相交的直线，因此答案为2n(2n-1)/2+1。
证明：
对于第n条直线，如果使得区域增加k个，当且仅当它与k-1条直线相交。
而我们之前已经构造好了n-1条两两相交的直线，且三三不相交的直线，因此第n条直线一定可以找到一种方法使得与n-1条直线相交。
因此ans=1+1+2+3+...+n，直接上等差数列求和公式。

【递推】

1条直线分割平面数最多为2；a1=2
2条直线分割平面数最多为4；为1条直线时分割数目+2，即a2=a1+2
3条直线分割平面数最多为7；为2条直线时分割数目+3，即a3=a2+3=a1+2+3
4条直线分割平面数最多为11；为3条直线时分割数目+4，即a4=a3+4=a1+2+3+4
5条直线分割平面数最多为16；为4条直线时分割数目+5，即a5=a4+5=a1+2+3+4+5
6条直线分割平面数最多为22；为5条直线时分割数目+6，即a6=a5+6=a1+2+3+4+5+6
因此an=a1+2+3+...+n。
可以看到分割的平面数的差值按照等差数列递增；
因此第N条直线分割的最多平面数为：n(n-1)/2+1。

#include<cstdio>
using namespace std;
int main(){
    long long a;
    scanf("%lld",&a);
    printf("%lld
",(a*((a<<1)+1)+1));
    return 0;
}

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
const int MAXN = 2001 * 2, INF = 1e9 + 10;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
int main() {
    long long n = read();
    long long ans = n * (2 * n + 1) + 1;
    printf("%lld
", ans);
    return 0;
}