CDQ分治笔记

以前一直不会CDQ……然后经常听到dalao们说“这题直接CDQ啊”“CDQ不就秒了吗”的时候我只能瑟瑟发抖QAQ

CDQ分治

其实CDQ分治就是二分分治，每次将$[l,r]$的问题划分为$[l,mid]$和$[mid+1,r]$的子问题来解决，裸的时间复杂度是$O(nlogn)$。但是cdq的特殊要求是区间左半边的操作不会影响右半边的操作，一般适用于多次询问以及需要维护多个维度关键值的问题。（其实这种题也可以写树套树&KD树，dalao们又把我碾在了地上QAQ）

注意：cdq经常要在中间给数组排序，要使用归并来保证复杂度，直接sort的话或多一个$log$(Orzhjw)

三维偏序问题

三维偏序的著名不用我说了吧。。。几乎是所有人cdq的入门题，会cdq的人应该都写过吧。。。

先从一维偏序问题开始考虑，这就是一个经典的逆序对问题，用树状数组解决；

二维偏序的话可以对第一维排序，保证这一维有序后再对第二维建树状数组维护；

问题变成了三维，排序+树状数组也只能解决两维，还有一维就要用cdq分治（树套树）来搞：

注意到第一维排序后前一半的答案不会影响后一半的答案，于是把两边的区间分别按照第二维排序，然后建个树状数组解决；

（yrx：树套树好写易懂好调肯定写树套树啊）

代码：（BZOJ3262陌上花开 模板题）

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define lb(x) (x&(-x))
using namespace std;
struct task{
    int a,b,c,tot,ans;
    task(){
        tot=0;
    }
}q[100001],s[100001];
int n,m,tot=0,ans[100001],t[500001];
bool cmp(task a,task b){
    if(a.a!=b.a)return a.a<b.a;
    if(a.b!=b.b)return a.b<b.b;
    if(a.c!=b.c)return a.c<b.c;
    return false;
}
bool _cmp(task a,task b){
    if(a.b!=b.b)return a.b<b.b;
    if(a.c!=b.c)return a.c<b.c;
    if(a.a!=b.a)return a.a<b.a;
    return false;
}
void add(int x,int v){
    for(;x<=m;x+=lb(x)){
        t[x]+=v;
    }
}
int sum(int x){
    int ret=0;
    for(;x;x-=lb(x)){
        ret+=t[x];
    }
    return ret;
}
void cdq(int l,int r){
    if(l==r){
        s[l].ans+=s[l].tot-1;
        return;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    cdq(l,mid);
    cdq(mid+1,r);
    sort(s+l,s+mid+1,_cmp);
    sort(s+mid+1,s+r+1,_cmp);
    int j=l;
    for(int i=mid+1;i<=r;i++){
        while(j<=mid&&s[j].b<=s[i].b)add(s[j].c,s[j].tot),j++;
        s[i].ans+=sum(s[i].c);
    }
    for(int i=l;i<j;i++)add(s[i].c,-s[i].tot);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d%d",&q[i].a,&q[i].b,&q[i].c);
        q[i].ans=1;
    }
    sort(q+1,q+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(i!=1&&q[i].a==q[i-1].a&&q[i].b==q[i-1].b&&q[i].c==q[i-1].c)s[tot].tot++;
        else s[++tot]=q[i],s[tot].tot=1;
    }
    cdq(1,tot);
    sort(s+1,s+tot+1,cmp);
    for(int i=1;i<=tot;i++)ans[s[i].ans]+=s[i].tot;
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d
",ans[i]);
    return 0;
}

（这个代码多了一个log跑的巨慢无比）

一些刷题记录：

【BZOJ2176】天使玩偶

KD树大法好

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define inf 1000000000
using namespace std;
struct node{
    int d[2],mi[2],mx[2],ls,rs;
}t[2000001];
int D,n,m,rt,x,y,op,tot=0,ans;
bool cmp(node a,node b){
    return a.d[D]!=b.d[D]?a.d[D]<b.d[D]:a.d[D^1]<b.d[D^1];
}
void pushup(int u){
    int l=t[u].ls,r=t[u].rs;
    if(l){
        t[u].mi[0]=min(t[u].mi[0],t[l].mi[0]);
        t[u].mi[1]=min(t[u].mi[1],t[l].mi[1]);
        t[u].mx[0]=max(t[u].mx[0],t[l].mx[0]);
        t[u].mx[1]=max(t[u].mx[1],t[l].mx[1]);
    }
    if(r){
        t[u].mi[0]=min(t[u].mi[0],t[r].mi[0]);
        t[u].mi[1]=min(t[u].mi[1],t[r].mi[1]);
        t[u].mx[0]=max(t[u].mx[0],t[r].mx[0]);
        t[u].mx[1]=max(t[u].mx[1],t[r].mx[1]);
    }
}
void build(int &u,int l,int r,int d){
    D=d;
    int mid=(l+r)/2;
    u=mid;
    nth_element(t+l,t+u+1,t+r+1,cmp);
    t[u].mi[0]=t[u].mx[0]=t[u].d[0];
    t[u].mi[1]=t[u].mx[1]=t[u].d[1];
    if(u>l)build(t[u].ls,l,mid-1,D^1);
    if(u<r)build(t[u].rs,mid+1,r,D^1);
    pushup(u);
}
void ins(int k){
    int d=0,now=rt;
    for(;;){
        t[now].mi[0]=min(t[now].mi[0],t[k].mi[0]);
        t[now].mi[1]=min(t[now].mi[1],t[k].mi[1]);
        t[now].mx[0]=max(t[now].mx[0],t[k].mx[0]);
        t[now].mx[1]=max(t[now].mx[1],t[k].mx[1]);
        if(t[k].d[d]>=t[now].d[d]){
            if(!t[now].rs){
                t[now].rs=k;
                return;
            }
            now=t[now].rs;
        }else{
            if(!t[now].ls){
                t[now].ls=k;
                return;
            }
            now=t[now].ls;
        }
        d^=1;
    }
}
int dis(int u,int x,int y){
     int ret=0;
     if(x<t[u].mi[0])ret+=t[u].mi[0]-x;
     if(x>t[u].mx[0])ret+=x-t[u].mx[0];
     if(y<t[u].mi[1])ret+=t[u].mi[1]-y;
     if(y>t[u].mx[1])ret+=y-t[u].mx[1];
     return ret;
}
int query(int u,int x,int y){
    int l,r,now;
    now=abs(t[u].d[0]-x)+abs(t[u].d[1]-y);
    ans=min(ans,now);
    if(t[u].ls)l=dis(t[u].ls,x,y);
    else l=inf;
    if(t[u].rs)r=dis(t[u].rs,x,y);
    else r=inf;
    if(l<r){
        if(l<ans)query(t[u].ls,x,y);
        if(r<ans)query(t[u].rs,x,y);
    }else{
        if(r<ans)query(t[u].rs,x,y);
        if(l<ans)query(t[u].ls,x,y);
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d",&t[i].d[0],&t[i].d[1]);
    }
    build(rt,1,n,0);
    tot=n;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
        if(op==1){
            ++tot;  
            t[tot].mi[0]=t[tot].mx[0]=t[tot].d[0]=x;
            t[tot].mi[1]=t[tot].mx[1]=t[tot].d[1]=y;
            ins(tot);
        }else{
            ans=inf;
            query(rt,x,y);
            printf("%d
",ans);
        }
    }
    return 0;
}

【BZOJ1176】Mokia

下面一题的加强版，必须要写cdq

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define lb(x) (x&(-x))
using namespace std;
struct node{
    int v,x,y,op,d,id;
}q[500001],tmp[500001];
int s,w,x,y,a,b,k,op,cnt=0,tot=0,aans[500001],ans[500001],t[5000001];
bool cmp(node a,node b){
    if(a.x!=b.x)return a.x<b.x;
    if(a.y!=b.y)return a.y<b.y;
    return a.op<b.op;
}
void add(int u,int x){
    for(;u<=w;u+=lb(u)){
        t[u]+=x;
    }
}
int query(int u){
    int ret=0;
    for(;u;u-=lb(u)){
        ret+=t[u];
    }
    return ret;
}
void cdq(int l,int r){
    if(l==r)return;
    int mid=(l+r)/2,L=l,R=mid+1;
    for(int i=l;i<=r;i++){
        if(q[i].v<=mid&&!q[i].op)add(q[i].y,q[i].d);
        if(q[i].v>mid&&q[i].op)ans[q[i].id]+=query(q[i].y)*q[i].d;
    }
    for(int i=l;i<=r;i++){
        if(q[i].v<=mid&&!q[i].op)add(q[i].y,-q[i].d);
    }
    for(int i=l;i<=r;i++){
        if(q[i].v<=mid)tmp[L++]=q[i];
        else tmp[R++]=q[i];
    }
    for(int i=l;i<=r;i++)q[i]=tmp[i];
    cdq(l,mid);
    cdq(mid+1,r);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&s,&w);
    for(;;){
        scanf("%d",&op);
        if(op==1){
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
            q[++cnt]=(node){cnt,x,y,0,k,0};
        }else if(op==2){
            scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&a,&b);
            tot++;
            aans[tot]=s*(a-x+1)*(b-y+1);
            q[++cnt]=(node){cnt,a,b,1,1,tot};
            q[++cnt]=(node){cnt,a,y-1,1,-1,tot};
            q[++cnt]=(node){cnt,x-1,b,1,-1,tot};
            q[++cnt]=(node){cnt,x-1,y-1,1,1,tot};
        }else break;
    }
    sort(q+1,q+cnt+1,cmp);
    cdq(1,cnt);
    for(int i=1;i<=tot;i++)printf("%d
",ans[i]+aans[i]);
    return 0;
}

【BZOJ2683】简单题

KD树大法好（成功跑到垫底QAQ）

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int D;
struct kdnode{
    int ls,rs,num,v,d[2],mi[2],mx[2];
    int &operator [](int x){
        return d[x];
    }
    friend bool operator <(kdnode a,kdnode b){
        return a[D]<b[D];
    }
}t[200001],rb[200001],s;
int n,op,x1,yy,x2,y2,v,rt=0,tot=0,R=5000,ans=0;
bool inside(int x1,int yy,int x2,int y2,int x3,int y3,int x4,int y4){
    return x1<=x3&&x2>=x4&&yy<=y3&&y2>=y4;
}
bool outside(int x1,int yy,int x2,int y2,int x3,int y3,int x4,int y4){
    return x1>x4||x2<x3||yy>y4||y2<y3;
}
void pushup(int u){
    int l=t[u].ls,r=t[u].rs;
    for(int i=0;i<=1;i++){
        t[u].mi[i]=t[u].mx[i]=t[u][i];
        if(l)t[u].mi[i]=min(t[u].mi[i],t[l].mi[i]);
        if(l)t[u].mx[i]=max(t[u].mx[i],t[l].mx[i]);
        if(r)t[u].mi[i]=min(t[u].mi[i],t[r].mi[i]);
        if(r)t[u].mx[i]=max(t[u].mx[i],t[r].mx[i]);
    }
    t[u].num=t[l].num+t[r].num+t[u].v;
}
int query(int u,int x1,int yy,int x2,int y2){
    int ret=0;
    if(!u)return 0;
    if(inside(x1,yy,x2,y2,t[u].mi[0],t[u].mi[1],t[u].mx[0],t[u].mx[1]))return t[u].num;
    if(outside(x1,yy,x2,y2,t[u].mi[0],t[u].mi[1],t[u].mx[0],t[u].mx[1]))return 0;
    if(inside(x1,yy,x2,y2,t[u][0],t[u][1],t[u][0],t[u][1]))ret+=t[u].v;
    ret+=query(t[u].ls,x1,yy,x2,y2)+query(t[u].rs,x1,yy,x2,y2);
    return ret;
}
void ins(int &u,bool d){
    if(!u){
        u=++tot;
        t[u][0]=t[u].mi[0]=t[u].mx[0]=s[0];
        t[u][1]=t[u].mi[1]=t[u].mx[1]=s[1];
    }
    if(s[0]==t[u][0]&&s[1]==t[u][1]){
        t[u].v+=s.v;
        t[u].num+=s.v;
        return; 
    }
    if(s[d]<t[u][d])ins(t[u].ls,d^1);
    else ins(t[u].rs,d^1);
    pushup(u);
}
int rebuild(int l,int r,bool d){
    if(l>r)return 0;
    int mid=(l+r)/2;
    D=d;
    nth_element(rb+l,rb+mid,rb+r+1);
    t[mid]=rb[mid];
    t[mid].ls=rebuild(l,mid-1,d^1);
    t[mid].rs=rebuild(mid+1,r,d^1);
    pushup(mid);
    return mid;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(;;){
        scanf("%d",&op);
        if(op==1){
            scanf("%d%d%d",&x1,&yy,&v);
            //x1^=ans;
            //yy^=ans;
            //v^=ans;
            s[0]=x1;
            s[1]=yy;
            s.num=s.v=v;
            ins(rt,0);
            //printf("aa %d
",tot); 
            if(tot==R){
                //printf("zjtywwakioi
");
                for(int j=1;j<=tot;j++){
                    rb[j]=t[j];
                }
                rt=rebuild(1,tot,0);
                R+=5000;
            }
        }else if(op==2){
            scanf("%d%d%d%d",&x1,&yy,&x2,&y2);
            //x1^=ans;
            //yy^=ans;
            //x2^=ans;
            //y2^=ans;
            printf("%d
",(ans=query(rt,x1,yy,x2,y2)));
        }else break;
    }
    return 0;
}

【BZOJ1492】【NOI2007】Cash

CDQ分治维护凸包+斜率优化DP

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define eps 1e-7
#define inf 1e15
using namespace std;
struct task{
    double x,y,a,b,k,r;
    int v,id;
}q[100001],tmp[100001];
double gtk(int a,int b){
    if(!b)return -inf;
    if(fabs(q[a].x-q[b].x)<eps)return inf;
    return (q[a].y-q[b].y)/(q[a].x-q[b].x);
}
int n,top,s[100001];
double f[100001];
bool cmp(task a,task b){
    return a.k>b.k;
}
void cdq(int l,int r){
    if(l==r){
        f[l]=max(f[l],f[l-1]);
        q[l].y=f[l]/(q[l].a*q[l].r+q[l].b);
        q[l].x=q[l].r*q[l].y;
        return;
    }
    int mid=(l+r)/2,L=l,R=mid+1,j=1;
    for(int i=l;i<=r;i++){
        if(q[i].id<=mid)tmp[L++]=q[i];
        else tmp[R++]=q[i];
    }
    for(int i=l;i<=r;i++)q[i]=tmp[i];
    cdq(l,mid);
    top=0;
    for(int i=l;i<=mid;i++){
        while(top>1&&gtk(s[top-1],s[top])<gtk(s[top-1],i)+eps)top--;
        s[++top]=i;
    }
    s[++top]=0;
    for(int i=mid+1;i<=r;i++){
        while(j<top&&gtk(s[j],s[j+1])+eps>q[i].k)j++;
        f[q[i].id]=max(f[q[i].id],q[s[j]].x*q[i].a+q[s[j]].y*q[i].b);
    }
    cdq(mid+1,r);
    L=l,R=mid+1;
    for(int i=l;i<=r;i++){
        if(((q[L].x<q[R].x||(fabs(q[L].x-q[R].x)<eps&&q[L].y<q[R].y))||R>r)&&L<=mid)tmp[i]=q[L++];
        else tmp[i]=q[R++];
    }
    for(int i=l;i<=r;i++)q[i]=tmp[i];
}
int main(){
    scanf("%d%lf",&n,&f[0]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lf%lf%lf",&q[i].a,&q[i].b,&q[i].r);
        q[i].k=-q[i].a/q[i].b;
        q[i].id=i;
    }
    sort(q+1,q+n+1,cmp);
    cdq(1,n);
    printf("%.2lf",f[n]);
    return 0;
}

【HDU5126】stars

毒瘤题，四维CDQ or 三维KD树，先咕