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  • [SDOI2016][bzoj4514] 数字配对 [费用流]

    题面

    传送门

    思路

    一个数字能且只能匹配一次

    这引导我们思考:一次代表什么?代表用到一定上限(b数组)就不能再用,同时每用一次会产生价值(c数组)

    上限?价值?网络流!

    把一次匹配设为一点流量,那产生的价值不就是费用了吗?

    我们考虑把一种数字抽象成一个点,可以匹配的数字之间连边,费用为c[i]*c[j],流量上限为.....

    等等,流量上限怎么设?

    而且还有一个问题:这里的匹配是双向的,虽然可以$Oleft(n^2 ight)$求出所有匹配对,但是网络流要求是单向边啊!

    别急,我们先来分析一下两个满足匹配条件的数,有什么性质

    设$i=past j$,其中p是一个质数

    那我们考虑$i$和$j$的质因数分解,会发现:它们俩分解出的质因数个数之间正好差一!

    这说明了什么?

    这说明匹配只有可能在质因数个数奇偶性不同的数对之间存在,而如果根据质因数个数的奇偶性把数分成两组,那么所有边都在两组之间!

    这是什么?二分图啊!

    那么我们就可轻易把每条边定向成从奇数侧到偶数侧了!

    接下来的事就简单了:我们建立超级源S和超级汇T,从S连边到所有质因数个数为奇数的点i,费用为0,容量为b[i],质因数个数为偶数的点连到T,类似

    这样,我们也一同限制了每个点最多流出去不超过b[i]的流量,也就是不发生超过b[i]次和这个数字有关的匹配

    因此对于原图中的可行匹配,只要连边,费用为c[i]*c[j],流量上限inf

    跑最大费用最大流......等等好像不行?这道题是要求费用非负时的最大流量啊......

    别急,我们来贪心一波

    我们每次在图中做一个spfa,找到费用最大(最长)的增广路,设它的总长度(费用)为maxn,同时设当前总费用为ans

    如果maxn<-ans,那么即使加上1的流量,总费用也负数了,这个时候结束循环,输出总流量flow即可

    否则,如果maxn>0,那么非常高兴,我们随便加,流量越多越好

    如果maxn<0,那么也没有问题,我们只要令流的流量为$min(limit,ans/(-maxn))$,其中limit为当前增广路的流量上限

    这样一直循环,直到因为上面的原因跳出,或者图不连通了为止,输出总流量flow,就是最大匹配数了

    贪心的证明很显然,我们每次都是取最优走,而且后面的决策肯定没有我优,就证完了

    Code:

    写的时候注意细节啊......这题细节贼多,一不小心就除0或者mod0了,而且实现分解质因数的时候注意,如果一个数x到了sqrt(x)都还没有一个质因数,那么它肯定是个质数

    因此我们只要筛1e5的素数就够了

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    #include<cassert>
    #define inf 1e15
    #define ll long long
    using namespace std;
    inline ll read(){
        ll re=0,flag=1;char ch=getchar();
        while(ch>'9'||ch<'0'){
            if(ch=='-') flag=-1;
            ch=getchar();
        }
        while(ch>='0'&&ch<='9') re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();
        return re*flag;
    }
    ll cnt=-1,ans,flow,first[210],dis[210],vis[210],limit[210],pre[210];
    struct edge{
        ll to,next,w,cap;
    }a[100010];
    inline void add(ll u,ll v,ll w,ll cap){
        a[++cnt]=(edge){v,first[u],w,cap};first[u]=cnt;
        a[++cnt]=(edge){u,first[v],-w,0};first[v]=cnt;
    }
    bool spfa(ll s,ll t){
        ll q[5010]={0},head=0,tail=1,u,v,w,i;
        for(i=s;i<=t;i++) dis[i]=-inf;
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        memset(pre,-1,sizeof(pre));memset(limit,0,sizeof(limit));
        q[0]=s;vis[s]=1;dis[s]=0;limit[s]=inf;
        while(head<tail){
            u=q[head++];vis[u]=0;
            for(i=first[u];~i;i=a[i].next){
                v=a[i].to;w=a[i].w;
                if(a[i].cap&&(dis[v]<dis[u]+w)){//注意是最长路
                    dis[v]=dis[u]+w;
                    limit[v]=min(limit[u],a[i].cap);
                    pre[v]=i;
                    if(!vis[v]) q[tail++]=v,vis[v]=1;
                }
            }
        }
        return dis[t]!=-inf;
    }
    ll n,A[210],B[210],C[210],col[210];
    ll tot=0,pri[100010],v[100010]={0};
    void init(){//线筛
        ll i,j,k;v[1]=1;
        for(i=2;i<=100000;i++){
            if(!v[i]) pri[++tot]=i;
            for(j=1;j<=tot;j++){
                k=i*pri[j];if(k>100000) break;
                v[k]=1;
                if((i%pri[j])==0) break;
            }
        }
    }
    ll cntprime(ll x){
        ll re=0,c=1;
        while(x>1&&c<=tot){
            while((x%pri[c])==0) x/=pri[c],re++;
            c++;
        }
        if((c==tot+1)&&(x>1)) return 1;//处理特殊情况
        return re;
    }
    int main(){
        memset(first,-1,sizeof(first));
        ll i,j;init();
        n=read();
        for(i=1;i<=n;i++) A[i]=read(),col[i]=cntprime(A[i]);
        for(i=1;i<=n;i++){
            B[i]=read();
            if(col[i]%2) add(0,i,0,B[i]);
            else add(i,n+1,0,B[i]);
        }
        for(i=1;i<=n;i++) C[i]=read();
        for(i=1;i<=n;i++){
            for(j=i+1;j<=n;j++){
                if((((A[i]%A[j])==0)&&(col[i]==col[j]+1))||(((A[j]%A[i])==0)&&(col[j]==col[i]+1))){
                    if(col[i]%2) add(i,j,C[i]*C[j],inf);
                    else add(j,i,C[i]*C[j],inf);
                }
            }
        }
        ll tmp,u;
        while(1){
            if(!spfa(0,n+1)) break;
            if(dis[n+1]+ans<0) break;
            if(dis[n+1]>=0) tmp=limit[n+1];//注意这里>=不要写成>......我被这个坑了1h啊啊啊啊
            else tmp=min(limit[n+1],ans/(-dis[n+1]));
            ans+=dis[n+1]*tmp;flow+=tmp;
            for(u=n+1;~pre[u];u=a[pre[u]^1].to){
                a[pre[u]].cap-=tmp;a[pre[u]^1].cap+=tmp;
            }
        }
        printf("%lld
    ",flow);
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/dedicatus545/p/8729451.html
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