曲面方程
三维空间中的关于(z)轴旋转对称的圆锥面由一根与(z)轴共面但不平行的直线绕(z)轴旋转360度得到. 旋转的过程中直线与(z)轴的夹角不变, 用(phi)表示.
曲面上的点的坐标可用参数方程表示:(即极坐标下的曲面方程)
[egin{cases}
x =
ho * sinphi * cos alpha \
y =
ho * sinphi * sin alpha \
z =
ho * cosphi
end{cases}
]
里面的自由参数有两个:( ho, alpha). 若(phi)也是一个自由参数, 则得到的是一个体, 而非面了.
换成直角坐标系:
[z = sqrt{x^2 + y^2}cot phi
]
(phi)不能为(frac {pi}{2}).
可视化
极坐标和直角坐标提供了两种不同的思路.
- 直角坐标
phi = pi/6;
a = -pi:.05*pi:pi;
r = 0: .1: 2;
[A, R] = meshgrid(a, r);#xoy平面上的极坐标
X = R.* cos(A);
Y = R.* sin(A);
Z = cot(phi) * sqrt(X.^2 + Y.^2);
surf(X, Y, Z);
- 极坐标
figure;
phi = pi/6;
rho = 0 : .1 : 4;
a = -pi:.05*pi:pi;
[A, Rho] = meshgrid(A, rho);
X = Rho.*sin(phi).*cos(A);
Y = Rho.*sin(phi).*sin(A);
Z = Rho.*cos(phi);
surf(X, Y, Z);
两段代码画的是同一个锥面:
