POJ1061 青蛙的约会

题目来源：http://poj.org/problem?id=1061

题目大意：

　　两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

输入：输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

输出：输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

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Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

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终于有一道中文题目了，真是泪流满面T^T..

　　由题意知，实际上问题是要求解下面的方程：  

      (1)

　　其中 t 为未知数，要求的是 t 的非负最小值。上式可变形为： (2)

　　其中 t 和 k 为未知数。再将上式简化为(3) 的形式。其中, a b c 均为整数常数。数论中的相关理论（具体什么理论我也不知道=。=）保证了：当 c = gcd(a, b)时，该方程的 t 和 k 一定有解。所以如果可以把(2)式转化为 (4) 的形式，则原问题有解，否则无解，应输出“Impossible.”。

　　接下来说明(4)式的解法--扩展的欧几里得算法。

　　首先请移步这里回顾一下求两数最大公约数的朴素欧几里得算法。然后, 我们把代码搬过来：

int gcd(int a, int b) {
    if(b == 0)
        return a;
    return gcd(b, a % b);
}

　　所谓的扩展欧几里得算法，代码如下：

int x, y;

int ex_gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    } else {
        int r = ex_gcd(b, a % b);
        int t = x;
        x = y;
        y = t - a / b * y;
        return r;
    }
}

这里的a, b与前面方程(4)里的a, b对应, x, y对应t, k，返回值为gcd(a, b)。[ax + by = gcd(a, b)]. 我们发现，ex_gcd算法与gcd相比，多了 x 与 y 的赋值过程。只要在纸上演算一下，会发现其实算法很好理解：

1. b == 0 时，对应方程 gcd(a, b) = a, 对应的原方程为：ax + 0y = a, 所以可以赋值 x = 1, y = 0;

2. 当 b != 0 时，因为gcd(a, b) = gcd(b, a % b). 所以存在x'和y'满足：

　　ax + by = gcd(a, b)

　　　　　　 = gcd(b, a % b)

　　　　　　 = bx' + (a % b)y'

　　　　　　 = bx' + (a - a / b * b)y'

　　　　　　 = ay' + b(x' - a / b * y')

于是我们从上面连等式中可以找到对应关系：x = y'; y = x' - a / b * y'. 算法就是利用该递推关系就求出方程(4)的一组解，设之为(x0, y0)。

显然解不是唯一的，而是应该构成一组解系。设gcd(a, b) = d, 则 ax0 + by0 = d, 且有：

　　

于是我们构造出了解系： 其中n为任意整数。

然后对于一般形式的方程 ax + by = c, 则对应着解系. 所以如果 c/gcd(a, b) 是整数，则该方程有整数解，若不是则无整数解。

那么回到题目中，本题实际上求的是满足方程的x中的最小非负值，求得了x0和d后应该是不难得到了。至此应该把原理讲清楚了吧，嗯，上AC代码。　　　　　　　　　　　　

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//        POJ1061 Frogs' Dating
//        Memory: 216K        Time: 0MS
//        Language: C++        Result : Accepted
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#include <iostream>

using namespace std;

long long x, y;

long long ex_gcd(long long a, long long b) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    } else {
        long long r = ex_gcd(b, a % b);
        long long t = x;
        x = y;
        y = t - a / b * y;
        return r;
    }
}

int main(void) {
    long long X, Y, m, n, L, c, d, t;
    cin >> X >> Y >> m >> n >> L;
    c = X - Y;
    d = ex_gcd(n - m, L);
    t = c % d;
    if (t == 0) {
        long long k = c / d;
        x *= k;
        t = d * x / L;
        x -= t * L / d;
        if (x < 0) {
            x += L / d;
        }
        cout << x << endl;
    } else {
        cout << "Impossible" << endl;
    }
    return 0;
}

关于求满足条件的最小非负数的附加解释：

　　令 ，此时求得的n对应着最接近0的x，如果算出的x小于0，则在它的基础上再加一个周期 b/d 即可。