最近刷了一下斐波那契数的题，学了一下矩阵快速幂，做一下总结。
首先在学矩阵快速幂之前，有一些必须要掌握的知识。
1）矩阵的乘法（详细介绍请参考百度百科）
其中的c[i, j]是a矩阵中的第i行与b矩阵中第j列的乘积和。
例：
所以说可以写成是 
用代码实现就是
1 void mult(int First_Matrix[N][N], int Second_Matrix[N][N]) 2 { 3 int Third_Matrix[N][N]; 4 memset(Third_Matrix, 0, sizeof Third_Matrix); 5 for(int i=0;i<N;i++) 6 for(int j=0;j<N;j++) 7 for(int k=0;k<N;k++) 8 Third_Matrix[i][j] += First_Matrix[i][k]*Second_Matrix[k][j]; 9 }
2）快速乘法和快速幂
a*b
快速乘法就是用了2进制和乘法分配律。5==（0101）2 ， 所以7*5 == 7*（0101）2 ，又可以通过乘法分配律变成 7*（0100+0001）2 == 7*（4+1）10 。
所以就可以通过判断当前位置是不是1位，来判断是否要求和。每一次移动到下一位时，base*2；
1 int qmult(int a, int b)//a*b 2 { 3 int ans = 0; 4 int base = a; 5 while(b){ 6 if(b&1) ans += base;//当前位置是1 7 b>>=1;//b向右移动一位 8 base <<= 1;//base *= 2; 9 } 10 return ans; 11 }
a^b
快速幂与快速乘法差不多，只是把+换做*。
7^5==7^（0101）2 =7^（0100 + 0001）2 == 74 * 71。（不难发现指数是2n）
我们就可以得到快速幂的代码
1 int qpow(int a, int b)//a^b 2 { 3 int ans = 1; 4 int base = a; 5 while(b) 6 { 7 if(b&1) ans *= base; 8 b >>=1; 9 base = base * base; 10 } 11 return ans; 12 }
——————————————————————————————————我是分界线———————————————————————————————————————
而矩阵快速幂其实就是快速幂的升级版本。把a数^b 升级成 a矩阵^b。
1 struct Matrix 2 { 3 LL c[maxn][maxn]; 4 };//Matrix 矩阵 5 Matrix mult(Matrix a, Matrix b, int n)//矩阵乘法 6 { 7 Matrix hh={0}; 8 for(int i=0;i<n;i++) 9 for(int j =0;j<n;j++) 10 for(int k = 0;k<n;k++){ 11 hh.c[i][j] += (a.c[i][k]*b.c[k][j])%mod; 12 hh.c[i][j] %= mod; 13 } 14 return hh; 15 } 16 Matrix qpow_Matrix(Matrix a, int b, int n) 17 { 18 Matrix base = a; 19 Matrix ans; 20 //初始化ans = 1。 21 for(int i =0;i<n;i++) 22 for(int j =0;j<n;j++) 23 if(i==j) ans.c[i][j] = 1; 24 else ans.c[i][j] = 0; 25 // 26 while(b){ 27 if(b&1) ans = mult(ans, base, n); 28 base = mult(base, base, n); 29 b>>=1; 30 } 31 return ans; 32 }
其中的ans初始化：因为在a^b中ans=1，而在矩阵中要使矩阵ans的对角线为1其他的全部为0（i==j时值为1）才能使 ans矩阵*b矩阵=b矩阵。
贴上练习的题目
1）矩阵乘法：https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1137
2）矩阵快速幂：https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1113
一题详细的讲构造矩阵的题目