P3518 [POI2011]strongbox

https://www.luogu.org/problem/show?pid=3518

问题描述：
有一个密码箱，0 到 n-1中的某些整数是它的密码，且满足：如果a和b都是它的密码，那么（a+b）%n
也是它的密码（a，b可以相等）某人试了k次密码，前k-1次都失败了，第k次成功了。
问：该密码箱最多有多少个密码？

输入输出：
输入第一行两个整数分别表示n，k。
第二行k个非负整数，表示每次试的密码。
输出一个数，为密码最多个数

分析
由题意，x是密码，那么（x+x）%n是密码，（2x+x）%n也是密码…… x*k%n是密码；①
x*k-n*c=GCD(x,n)
观察上面这个式子，一定有一个整数t，使得x*t%n==GCD（x，n）,由①可得，GCD（x，n）也是密码。
于是得出
结论1：如果x是密码，那么GCD(x，n)也是密码。

设x，y是两个密码，那么（p*x+q*y）%n也是密码。②
a*x+b*y=GCD(x,y)一定有解，所以a*x+b*y≡GCD(x,y) (mod n)一定有解③
因为：a*x+b*y ≡ a*x+b*y+p*n*x+q*n*x (mod n)
即 : （a+p*n）*x+(b+q*n)*y ≡ a*x+b*y (mod n) ④
由③④得：
(a+p*n)*x+(b+q*n)*y≡GCD(x,y)一定有解
由②得：(（a+p*n）*x+(b+q*n) )%n 一定是密码（a+p*n相当于②里面的p），
④=>a*x+b*y是密码 , 进而③=>GCD(x,y) 是密码。
于是得出
结论2：x，y是密码，那么GCD（x，y）也是密码
实现方法：
先设a[k]=GCD(n,a[k]),可以先在根号时间复杂度内处理出a[k]的所有因子，存在q数组中，
接着去除所有是GCD(a[i],a[k])的因数，设去除后最小的因子为x，那么答案是n/x。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define M 250005
using namespace std;
int f[M],k;
LL a[M],q[M],n;
LL gcd(LL a,LL b)
{
    if(a<b) swap(a,b); 
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
    scanf("%lld%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=k;i++)
     scanf("%lld",&a[i]);
    a[k]=gcd(a[k],n);
    for(int i=1;i<k;i++) 
        a[i]=gcd(a[i],a[k]);

    int t=0;
    for(LL i=1;i*i<=a[k];i++)
    {
        if(a[k]%i==0)//i是a[k]的因子
        {
            q[++t]=i;
            if(a[k]/i!=i) q[++t]=a[k]/i;//a[k]/i也是a[k]的因子 
        } 
    }
    sort(q,q+t+1);

    for(int i=1;i<k;i++)
    {
        f[lower_bound(q+1,q+t+1,a[i])-q]=1;
    }

    for(int i=1;i<=t;i++)
     if(f[i])
      for(int j=1;j<i;j++)
       if(q[i]%q[j]==0)
         f[j]=1;
    int p;
    for(p=1;f[p];p++);

    printf("%lld",n/q[p]);
    return 0;
}