高斯消元法模板

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<math.h>
using namespace std;

const int MAXN=50;



int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵
int x[MAXN];//解集
bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元


void Debug(int equ,int var)
{
    int i,j;
    printf("
");
    for(i=0;i<equ;i++)
    {
        for(j=0;j<var+1;j++) printf("%d ",a[i][j]);
        printf("
");
    }
    printf("
");
}


inline int gcd(int m,int n){return n?gcd(n,m%n):m;}
inline int lcm(int a,int b){return a/gcd(a,b)*b;}


//高斯消元法解方程组(Gauss elimination).
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵：行数为equ,分别为0到equ-1；列数为var+1,分别为0到var-1以及var.
//该函数返回：-2表示有浮点数解，但无整数解；-1表示无解；0表示唯一解；大于0表示有无穷多解，返回自由变元的个数.
int Gauss_eli(int equ,int var)
{
    int i,j,k;
    int max_r;    //当前这列绝对值最大的行.
    int col;    //当前处理的列.
    int ta,tb;
    int LCM;
    int temp;
    int free_x_num;
    int free_index;

    for(int i=0;i<=var;i++)//初始化 
    {
        x[i]=0;
        free_x[i]=1;
    }
    for(k=0,col=0; k<equ && col<var; k++,col++)//转换为阶梯阵.
    {
        max_r=k;
        for(i=k+1;i<equ;i++) if( abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col]) ) max_r=i;
        if(max_r!=k)
        {
            for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
        }
        //找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换(为了在除法时减小误差).
        
        
        if(a[k][col]==0)//若绝对值最大的是0，则该col列第k行以下全是0，则处理当前行的下一列.
        {
            k--;
            continue;
        }
        
        for(i=k+1;i<equ;i++)//枚举要消去的行.
        {
            if(a[i][col]!=0)
            {
                LCM = lcm( abs(a[i][col]) , abs(a[k][col]) );
                ta = LCM/abs(a[i][col]);
                tb = LCM/abs(a[k][col]);
                if(a[i][col]*a[k][col]<0) tb=-tb;//异号的情况是相加.
                for(j=col;j<var+1;j++) a[i][j] = a[i][j]*ta - a[k][j]*tb;//进行消元.
            }
        }
    }

    Debug(equ,var);

    //1.无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
    for (i=k;i<equ;i++) if(a[i][col]!=0) return -1;
    
    //2.无穷解的情况: 在 var*(var+1) 的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
    //并且出现的行数即为自由变元的个数.
    if(var>k)
    {
        //首先，自由变元有 var - k 个，即不确定的变元至少有 var - k 个.
        for(i=k-1;i>=0;i--)
        {
            //第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.
            //同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.
            free_x_num=0;    //用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.
            for(j=0;j<var;j++) if(a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++ , free_index=j;
            if(free_x_num>1) continue;    //无法求解出确定的变元.
            
            //若只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元.
            temp=a[i][var];
            for(j=0;j<var;j++) if(a[i][j] != 0 && j != free_index) temp-=a[i][j]*x[j];
            x[free_index]=temp/a[i][free_index];    //求出该变元.
            free_x[free_index]=0;    //该变元是确定的.
        }
        return var-k; //自由变元有 var - k 个.
    }
    
    //3.唯一解的情况: 在 var*(var+1) 的增广阵中形成严格的上三角阵.
    //计算出x[n-1], x[n-2] ... X[0].
    for(i=var-1;i>=0;i--)
    {
        temp=a[i][var];
        for(j=i+1;j<var;j++) if(a[i][j]!=0) temp-=a[i][j]*x[j];
        if(temp%a[i][i]!=0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.
        x[i]=temp/a[i][i];
    }
    return 0;
}

int main()
{
    int i, j;
    int equ,var;
    while(scanf("%d%d",&equ,&var)!=EOF)
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(i=0;i<equ;i++) for(j=0;j<var+1;j++) scanf("%d", &a[i][j]);
        //Debug(equ,var);
        
        int free_num=Gauss_eli(equ,var);
        if(free_num==-1) printf("无解.
");
        else if(free_num==-2) printf("有浮点数解，无整数解.
");
        else if(free_num>0)
        {
            printf("无穷多解, 自由变元个数为%d
.", free_num);
            for(i=0;i<var;i++)
            {
                if(free_x[i]) printf("x%d 是不确定的.
",i+1);
                else printf("x%d: %d
",i+1,x[i]);
            }
        }
        else
        {
            for(i=0;i<var;i++) printf("x%d: %d
",i+1,x[i]);
        }
        printf("
");
    }
    return 0;
}