【虚树学习笔记（[SDOI2011]消耗战）】

题意

[SDOI2011]消耗战

想法

首先我们可以很自然的想到怎么在整棵树上进行求解\(DP\)
很简单 每个点有两个选择 要么对其子树的关键点递归求解 要么自己断开

当然断开的\(cost\)为其到根的最短边权

但我们发现每次都进行一次\(O(n)\)的整棵树\(DP\)我们实在是不太敢用

于是这个时候虚树起到了他的作用

给出定义：虚树是一些关键点按照在原树的祖孙关系构建的树
\(当A在原树中是B的祖先，那么在虚树中任然是\)
同时虚树中不仅有关键点，为了保持其原有的一些信息，一些关键点的\(LCA\)仍是必要存在的

芝士：虚树

我们怎么构建这个虚树呢，我们首先对每个点标号\(dfn\),然后对关键点按标号排序

这样保证我们是一条一条链加进来的

我们逐个加入

1.如果栈为空,或者栈中只有一个元素,那么显然应该:
\(stk[++top]=u;\)
2.取\(lca=LCA(u,stk[top])\),如果\(lca=stk[top]\)则说明\(u\)点应该接着\(stk[top]\)点延长当前的树链.做操作:
\(stk[++top]=u;stk[++top]=u;\)
3.如果\(lca≠stk[top]\)则说明\(u与stk[top]\)分属\(lca\)的两颗不同的子树,且包含\(stk[top]\)的这颗子树应该已经构建完成了,我们需要做的是:
将\(lca\)的包含\(stk[top]\)子树的那部分退栈,并将这部分建边形成虚树.如果\(lca\)不在栈(树链)中,那么要把\(lca\)也加入栈中,保证虚树的结构不出现问题,随后将u加入栈中,以表延长树链.

这里建议画图思考

建完虚树在虚树上跑就行了

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long

ll n,k;

struct P{
	int to,next,v;
};

int dfn[50005],mn[50005];
ll cnt = 0;

struct T{
	int head[25010];
	P e[500010];
	void add(ll x,ll y,ll v){
		e[++cnt].to = y;
		e[cnt].next = head[x];
		head[x] = cnt;
		e[cnt].v = v;
	} 
	int d[25010],fa[25010],son[25010],s[25010];                                                                             
	void dfs(ll now,ll f){
		d[now] = d[f] + 1;
		fa[now] = f;
		ll maxx = 0;
		s[now] = 1;
		for(int i = head[now];i;i = e[i].next){
			if(e[i].to == f)continue;
			mn[e[i].to] = std::min(mn[now],e[i].v);
			dfs(e[i].to,now);
			s[now] += s[e[i].to];
			if(s[e[i].to] > maxx)
			maxx = s[e[i].to],son[now] = e[i].to; 
		}
	}
	int dfncnt,top[250010];
	void dfs2(ll now,ll tp){
		dfn[now] = ++dfncnt;
		top[now] = tp;
		if(!son[now])return ;
		dfs2(son[now],tp);
		for(int i = head[now];i;i = e[i].next){
			if(e[i].to == fa[now] || e[i].to == son[now])continue;
			dfs2(e[i].to,e[i].to); 
		}
	}
	ll lca(ll x,ll y){
		while(top[x]!=top[y]){
			if(d[top[x]]<d[top[y]]) x^=y^=x^=y;
			x=fa[top[x]];
		}
		return d[x]>d[y]?y:x;
	} 
}Q;

ll t;
ll top = 0;
int s[25010];
	
struct FT{
	std::vector<int>son[25010];
	void add(ll x,ll y){son[x].push_back(y);}
	void ins(ll x){
		if(top <= 1) {s[++top] = x;return ;}
		ll l = Q.lca(x,s[top]);
		if(l == s[top]){return ;}
		while(top > 1 && dfn[s[top - 1]] >= dfn[l]){
			add(s[top - 1],s[top]);
			--top;
		}
		if(l != s[top]) add(l,s[top]),s[top] = l;
		s[++top] = x;
	}
	ll get(ll now){
		if(son[now].size() == 0) return mn[now];
		ll ans = 0;
		for(register int i = 0;i < son[now].size();++i)
		ans += get(son[now][i]);
		son[now].clear();
		return std::min(ans,(ll)mn[now]);
	}	
}W;

bool cmp(ll x,ll y){return dfn[x] < dfn[y];}

int num[250010];

int main(){
	memset(mn,0x3f,sizeof(mn));
	scanf("%lld",&n);
	for(int i = 1;i <= n - 1;++i){
		ll x,y,v;
		scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&v);
		Q.add(x,y,v);
		Q.add(y,x,v);
	}
	Q.dfs(1,0);
	Q.dfs2(1,1);
	scanf("%lld",&t);
    while(t -- ){
    	ll k;
    	scanf("%lld",&k);
    	for(int i = 1;i <= k;++i)
    	scanf("%d",&num[i]);
		std::sort(num + 1,num + k + 1,cmp);
		s[top = 1] = 1;
		for(int i = 1;i <= k;++i)
		W.ins(num[i]);
		while(top > 0)W.add(s[top - 1],s[top]),top -- ;
		std::cout<<W.get(1)<<std::endl;
	}
}