BJOI2019 删数

落谷、Loj。

Description

给定一个长度为 (n) 的序列 (a (a_i le n)) 。

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定义一个删数操作为：

• 记当前序列长度为 (k) ，则删除数列中所有等于 (k) 的数。

如果能在有限次进行下列删数操作后将其删为空数列，则称这个数列可以删空。

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给定 (m) 次修改操作：

• 单点修改
• 数列整体 (+1/-1)

求每次操作后的序列 (a) 来说，至少还需要修改几个数，才能将这个数删空？

Solution

子问题 1

我们先来看一个子问题，什么样的长度为 (len) 序列可以一下子删空？

首先答案和序列顺序无关，可以考虑把数打到值域上去，设数 (i) 出现的次数是 (cnt_i)。

不妨逆向思维一下，现在给你一个可以一下删空的元素，然后你还可以加入几个元素，让序列还是可以删空，这样样的数怎么加？

举个例子，比如当前序列是 ( ext{1 3 3})，很容易发现你可以加 (1) 个 (4)，或者 (2) 个 (5)，或者 (3) 个 (6) 等等...这样可以一开始删的时候把我们新增的玩意全部删除。总结一下规律，设序列长度是 (n)，你可以加入 (k) 个 (n + k)。

这样再反过来想，完全删数的这个操作是无缝连接的，设序列当前长度为 (len)，重复执行：

1. (len gets len - cnt[len])

如果最终 (len) 可以变成 (0) 就是成功了 ！

所以可以看作一个数轴，一个人初始在 (len) 点，然后 (cnt[len]) 表示从这个点出发，可以跳到 (len - cnt[len])，可以删完 (Leftrightarrow) 可以跳到 (0)。

这样的话，可以将 (cnt[i]) 看作一条线段 ([i - cnt[i] + 1, i])，（即从 (len) 出发的路线）。能够删完当且仅当路线无缝连接。由于 (sum cnt = len)，而我们的目标从 (len) 走到 (0) 步长也是 (len)，所以不会出现线段重叠也能删完的情况。

子问题 2

对于一个序列而言，至少还需要修改几个数，才能将这个数删空？

先给出结论：将 (1 le i le n) 的每条线段 ([i - cnt[i] + 1, i]) 打到数轴上（也可以理解为这个区间 (+1)），操作的最小次数就是值域 ([1, n]) 中，没有线段经过的点数（也可以理解为区间 ([1, n]) 中 (0) 的个数）。

必要性

考虑每次修改一个数最多只能使一条线段伸长一个长度（当然还会有一条线段缩短），所以最多只会减少一个 (0)，所以 (ans le) (0) 的个数。

充分性

我们考虑构造一组解。

• 每次选出一个其线段左端点覆盖 (> 1) 次的数，或者不在 ([1, n]) 值域内的数，将其换成一个当前无线段覆盖的数，这样可以将一个 (0) 去掉。

然后就感性的证明了最小操作次数 (=) (0) 的个数。

如何支持修改？

如果朴素的用我们的结论是 (O(n^2m)) 的（每次修改都 (O(n^2)) 全部搞一遍）。

然后观察一下我们需要支持的操作：

• 区间即 ([1, n]) 求 (0) 的个数
• 区间修改（因为整体平移导致一些线段不能用，所以要动态删除/加入）
• 整体平移（即所有线段往右边/往左边平移一个单位）
• 单点修改（即线段延长缩短带来的效应）

因为整体平移，所以不会

如果没有整体平移，是个线段树。

既然我们不会整体平移的数据结构，但是我们知道区间求 (0) 的个数的这个区间是唯一的，既然线段不能平移，那么我们就平移查询的区间骂。维护一个 ([L, R]) 初始 (L = 1, R = n)。([L, R]) 表示当前 ([1, n]) 这个值域的区间在线段树下体现的编号是什么。

• 对于单点修改，发现只有两个线段变化了（分别是左端点缩短和伸长），直接修改即可，注意这个数在不在当前的值域 ([1, n]) 里，如果不在不能修改。

• 对于整体平移。令 (L gets L - x, R gets R -x)（可以理解为编号不动，如果线段往右边移动，那么查询区间就往左边移动，相反的情况的对称的）。然后注意加入新的集合线段/删除旧的线段（右端点不在 ([1, n]) 的线段）。

• 对于区间求 (0) 的个数。佛了不会 因为这题权值是非负的，所以记录最小值和最小值出现的次数就行。。。

时间复杂度

(O((N + M) log_2 N))

Tips

• 注意到 (L, R) 可能被移动到 (+/-m) 的情况，并且左端点最多伸出 (n) 的长度，所以线段树要开 (4) 倍，左右区间要开到 ([1, 2(n + m)])
• (cnt_i) 在平移意义下并不是 (i) 这个数字了，而是一个编号
• ([L, R]) 维护的是值域 ([1, n]) 的位置，所以对于新进来的一个数 (x)，他应该在的编号是 (x + L - 1)。

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 150005;

int n, m, tot, a[N], cnt[N * 4];

int tag[N * 16];

struct Node{
	int v, cnt;
	Node (){}
	Node (int v, int cnt): v(v), cnt(cnt) {}
	Node (Node a, Node b) {
		v = min(a.v, b.v);
		cnt = (v == a.v ? a.cnt : 0) + (v == b.v ? b.cnt : 0);
	}
} dat[N * 16];

void inline pushup(int p) {
	dat[p] = Node(dat[p << 1], dat[p << 1 | 1]);
}

void inline pushdown(int p) {
	if (tag[p]) {
		dat[p << 1].v += tag[p], dat[p << 1 | 1].v += tag[p];
		tag[p << 1] += tag[p], tag[p << 1 | 1] += tag[p];
		tag[p] = 0;
	}
}

void build(int p, int l, int r) {
	if (l == r) { dat[p] = Node(0, 1); return; }
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(p << 1, l, mid);
	build(p << 1 | 1, mid + 1, r);
	pushup(p);
}

void change(int p, int l, int r, int x, int y, int k) {
	if (x > y) return;
	if (x <= l && r <= y) {
		dat[p].v += k, tag[p] += k;
		return;
	}
	pushdown(p);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (x <= mid) change(p << 1, l, mid, x, y, k);
	if (mid < y) change(p << 1 | 1, mid + 1, r, x, y, k);
	pushup(p);
}

int query(int p, int l, int r, int x, int y) {
	if (x <= l && r <= y) return dat[p].v == 0 ? dat[p].cnt : 0;
	pushdown(p);
	int mid = (l + r) >> 1, res = 0;
	if (x <= mid) res += query(p << 1, l, mid, x, y);
	if (mid < y) res += query(p << 1 | 1, mid + 1, r, x, y);
	return res;
}

void inline add(int x, int k) { 
    change(1, 1, tot, x - cnt[x] + 1, x, k);
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
    tot = (n + m) * 2;
	int l = n + m + 1, r = n + m + n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", a + i), a[i] += l - 1, cnt[a[i]]++;
	build(1, 1, tot);
	for (int i = l; i <= r; i++) change(1, 1, tot, i - cnt[i] + 1, i, 1);
	while (m--) {
		int p, x; scanf("%d%d", &p, &x);
		if (p) {
			x += l - 1;
			if (l <= a[p] && a[p] <= r) {
				change(1, 1, tot, a[p] - cnt[a[p]] + 1, a[p] - cnt[a[p]] + 1, -1);
			}
			cnt[a[p]]--, a[p] = x, cnt[a[p]]++;
			if (l <= a[p] && a[p] <= r) {
				change(1, 1, tot, a[p] - cnt[a[p]] + 1, a[p] - cnt[a[p]] + 1, 1);
			}
		} else {
			l -= x, r -= x;
			if (x == 1) add(r + 1, -1), add(l, 1);
			else add(l - 1, -1), add(r, 1);
		}
		printf("%d
", query(1, 1, tot, l, r));
	}
	return 0;
}