题目：假设某披萨店的披萨价格和披萨直径之间有下列数据关系
训练样本 |
直径（英寸） |
价格（美元） |
1 |
6 |
7 |
2 |
8 |
9 |
3 |
10 |
13 |
4 |
14 |
17.5 |
5 |
18 |
18 |
根据上面的训练数据，我们能否推断(预测)出某个直径的披萨可能的售价呢？例如，12英寸的披萨可能售卖多少钱？
答： 这是一个典型的单变量的线性回归，我们将这个样本绘制到坐标系上可以看到以下图（借用了PPT上该题的图）
如果让我们脑袋来思考的话，这分布非常像一条直线，那么我们就假设这道题的答案就是一条直线，我们假设结果为
（式1），这个函数被我们称之为判别函数
那么这条直线应该满足什么呢？
应当满足其他点到该直线的距离之和尽可能的小，这样的直线才尽可能的趋于正确
而这种判定的方法被我们称之为评估函数
判定方法我们写成表达式形式即为
（式2）
其中f(xi)为带入对应的样本x值后判别函数计算出来的值，yi为实际上的结果值。我们将上式称之为测试数据的残差的平方和
所以我们将x,y值带入h(x)公式中可得
（式3）
很明显我们要求这个函数的极小值。
那么求极小值就是所谓的求导了。对于多维度的函数求导即用到了偏导数技术。
我们先只考虑两个维度的函数，其形状大致为一个面。对于这个面上的任意一个点P（x0,y0）来说，点P周围若连续，我们选择一个切面，切过这个点，那么切面上的函数即这个点P在切面方向上的偏导数。针对多维度的面，我们可以计算出函数在各个维度上的偏导数，我们写成
因为是在各个维度上的单独求导，所以我们在那个维度上求导时，其他维度的值都是固定不变的，因此我们可以将其他维度的变量视为常量来计算，结果如下
（式4）
但是仅仅是求出两个维度上的一阶偏导数还是不够。我们若想求出极值，就要先清楚极值的数学含义。想象上来思考，极值即对于任何其他点Q来说，其h(Q)<=h(P)时，P即为极大值点，反之则极小值。此时P也被称之为稳定点。因而P点处的各个维度上的偏导数也必然都是等于0的，只要有一个不是那么在那个维度上就不是极值。这就可以推导出我们的极值必要条件
但是这只是必要条件，是必须满足的，这还不够充分比如说h(x,y)=xy时，原点处的hx与hy偏导数都为0，但是原点处却不是极值，所以我们有必要引入极值充要条件：
摘自百度文库
对于连续函数的二阶偏导数，x,y的顺序如果不一样的话结果是一样的，这个就不另外证明了，有兴趣的读者自己查找相关资料
根据式4，我们可以求得稳定点为
结果就不算了，太过离谱，到时候程序计算即可我们将点P带入判别函数里就是想要的函数
当x为12时，披萨的预期价钱为
证毕