动态规划-最长上升子序列(LIS)

时间复杂度为〇(nlogn)的算法，下面就来看看。

我们再举一个例子：有以下序列A[]=3 1 2 6 4 5 10 7，求LIS长度。

我们定义一个B[i]来储存可能的排序序列，len为LIS长度。我们依次把A[i]有序地放进B[i]里。（为了方便，i的范围就从1~n表示第i个数）

A[1]=3，把3放进B[1]，此时B[1]=3，此时len=1，最小末尾是3

A[2]=1，因为1比3小，所以可以把B[1]中的3替换为1，此时B[1]=1，此时len=1，最小末尾是1

A[3]=2，2大于1，就把2放进B[2]=2，此时B[]={1,2}，len=2

同理，A[4]=6，把6放进B[3]=6，B[]={1,2,6}，len=3

A[5]=4，4在2和6之间，比6小，可以把B[3]替换为4，B[]={1,2,4}，len=3

A[6]=5，B[4]=5，B[]={1,2,4,5}，len=4 

A[7]=10，B[5]=10，B[]={1,2,4,5,10}，len=5

A[8]=7，7在5和10之间，比10小，可以把B[5]替换为7，B[]={1,2,4,5,7}，len=5

最终我们得出LIS长度为5。但是，但是！！这里的1 2 4 5 7很明显并不是正确的最长上升子序列。是的，B序列并不表示最长上升子序列，它只表示相应最长子序列长度的排好序的最小序列。这有什么用呢？我们最后一步7替换10并没有增加最长子序列的长度，而这一步的意义，在于记录最小序列，代表了一种“最可能性”。假如后面还有两个数据8和9，那么B[6]将更新为8，B[7]将更新为9，len就变为7

lower_bound(a,a+n,i)函数 返回从数组a到a+n中第一个>=i的元素地址

upper_bound(a,a+n,i)函数 返回从数组a到a+n中第一个>i的元素地址

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=200001;
int a[MAXN];
int d[MAXN];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    d[1]=a[1];
    int len=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]>d[len])
            d[++len]=a[i];
        else
        {
            int j=lower_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d;
            d[j]=a[i];
        }
    }
    printf("%d
",len);    
    return 0;
}