LeetCode OJ

题目：

There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

解题思路：

将原问题转变成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。所以只要解决了第k小数的问题，原问题也得以解决。

首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。

证明也很简单，可以采用反证法。假设A[k/2-1]大于合并之后的第k小值，我们不妨假定其为第（k+1）小值。由于A[k/2-1]小于B[k/2-1]，所以B[k/2-1]至少是第（k+2）小值。但实际上，在A中至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，B中也至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，所以小于A[k/2-1]的元素个数至多有k/2+ k/2-2，小于k，这与A[k/2-1]是第（k+1）的数矛盾。

当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。

当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)

通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：

• 如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；
• 如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；
• 如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个；

代码：

class Solution {
public:
    int findKth(int A[], int m, int B[], int n, int k) {
        if (m > n) return findKth(B, n, A, m, k);
        
        if (m == 0) return B[k-1];
        if (n == 0) return A[k-1];
        if (k == 1) return min(A[0], B[0]);
        
        int part_a = min(k>>1, m), part_b = k - part_a;
        
        if (A[part_a - 1] < B[part_b - 1]) {
            return findKth(A + part_a, m - part_a, B, n, k - part_a);
        } else if (A[part_a - 1] > B[part_b - 1]) {
            return findKth(A, m, B + part_b, n - part_b, k-part_b);
        } else {
            return A[part_a - 1];
        }
     }
    double findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n) {
        if ((m+n) & 1) {
            return findKth(A, m, B, n, (m + n) / 2 + 1);
        } else {
            return (findKth(A, m, B, n, (m + n) / 2) + findKth(A, m, B, n, (m + n) / 2 + 1)) / 2.0;
        }
    }
};