选择问题——算法导论(10)

1. 引言

    这一篇我们来探讨选择问题。 它的提法是：

输入：一个包含n个（互异）数的序列A和一个数i（1≤i≤n）。

输出：元素x（x∈A），且A中有i-1个元素比x小。

简单的说，就是在A中找到第i小的数。

2. 期望为线性时间的选择算法

(1) 算法描述与实现

    我们先给出算法的伪代码描述：

其主要思想与我们前面介绍的快速排序——算法导论(8)基本一样，只是在该问题中，我们每次递归时，只用考虑第i小的数可能出现的分组。

下面给出Java实现代码：

public static void main(String[] args) {
	// 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9
	int[] array = new int[] { 3, 2, 7, 4, 5, 9, 1 };
	System.out.println(randomizedSelect(array, 0, array.length - 1, 5));
}

public static int randomizedSelect(int[] array, int start, int end, int i) {
	if (start == end) {
		return array[start];
	}
	int q = randomPartition(array, start, end);
	int k = q - start;
	if (k == i) {
		return array[q];
	} else if (i < k) {
		return randomizedSelect(array, start, q , i);
	} else {
		return randomizedSelect(array, q , end, i-k);
	}
}

/**
 * 重排array，并找出“临界”位置的索引
 * 
 * @param array
 *            待重排数组
 * @param start
 *            待重排子数组的起始索引
 * @param end
 *            待重排子数组的结束索引
 * @return
 */
public static int partition(int[] array, int start, int end) {
	int position = start - 1;
	int base = array[end];
	for (int i = start; i < end; i++) {
		if (array[i] <= base) {
			position++;
			int temp = array[position];
			array[position] = array[i];
			array[i] = temp;
		}
	}
	int temp = array[position + 1];
	array[position + 1] = array[end];
	array[end] = temp;
	return position + 1;
}

public static int randomPartition(int[] array, int start, int end) {
	int random = (int) (Math.random() * ((end - start) + 1)) + start;
	int temp = array[random];
	array[random] = array[end];
	array[end] = temp;
	return partition(array, start, end);
}

结果：

(2) 算法分析

    我们可以证明：上述算法的期望运行时间为θ(n)。证明略。