欧拉定理/欧拉函数【数论】

欧拉定理

在数论中，欧拉定理是一个关于同余的性质。举例：若n,a为正整数，且n,a 互质，即gcd(a,n)=1，则：

　　　　　　

即：a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

 

欧拉函数：

欧拉函数的定义:

    在数论中，对于正整数N,少于或等于N ([1,N]),且与N互质的正整数(包括1)的个数，记作φ(n)。

     φ函数的值：

    φ(x)=x(1-1/p(1))(1-1/p(2))(1-1/p(3))(1-1/p(4))…..(1-1/p(n)) 其中p(1),p(2)…p(n)为x

的所有质因数;x是正整数; φ(1)=1(唯一和1互质的数，且小于等于1)。注意：每种质因数只有一个。

     例如:

         φ(10)=10×(1-1/2)×(1-1/5)=4;

         1 3 7 9

         φ(30)=30×(1-1/2)×(1-1/3)×(1-1/5)=8;

         φ(49)=49×(1-1/7)=42;

欧拉函数的性质：

(1)   p^k型欧拉函数:

若N是质数p(即N=p), φ(n)= φ(p)=p-p^(k-1)=p-1。

若N是质数p的k次幂(即N=p^k)，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)。

(2)mn型欧拉函数

设n为正整数，以φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值。若m,n互质，φ(mn)=(m-1)(n-1)=φ(m)φ(n)。

(3)特殊性质:

若n为奇数时，φ(2n)=φ(n)。

对于任何两个互质 的正整数a,n(n>2)有:a^φ(n)=1 mod n (恒等于)此公式即 欧拉定理

当n=p 且 a与素数p互质(即:gcd(a,p)=1)则上式有: a^(p-1)=1 mod n (恒等于)此公式即 费马小定理

代码：直接求小于或等于n,且与n互质的数个数（两种写法

int oula(int n)
{
    int rea=n;
    for(int i=2; i<=n; i++)
        if(n%i==0)//第一次找到的必为素因子
        {
            rea=rea-rea/i;
            do
                n/=i;//把该素因子全部约掉
            while(n%i==0);
        }
    return rea;
}

int Euler(int n)
{
    int ret = n;
    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++){
        if(n%i==0){/// i|n;//整除
            ret = ret/i*(i-1);///先进行除法防止溢出(ret=ret*(1-1/p(i)))
            while(n%i==0){
                n/=i;
            }
        }
    }
    if(n>1)ret=ret/n*(n-1);///
    return ret;
}

筛选模板:求[1,n]之间每个数的质因数的个数：

#define size 1000001
int euler[size];
void init()
{
    memset(euler,0,sizeof(euler));
    euler[1]=1;
    for(int i=2;i<size;i++)
       if(!euler[i])
    for(int j=i;j<size;j+=i){
        if(!euler[j])
            euler[j]=j;
        euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出
    }
}

欧拉函数表线性筛：

int prime[maxn];
int phi[maxn],vis[maxn];
void init(int n)///O(n)欧拉函数筛
{
    int tot=0;
    phi[1]=1;
    memset(vis,1,sizeof(vis));
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(vis[i]){
            prime[tot++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=0;j<tot,i*prime[j]<=n;j++){
            vis[i*prime[j]]=0;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;
            }
            else {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            }
        }
    }
}

参考：欧拉函数知识点总结及代码模板及欧拉函数表

参考：欧拉函数