堆
1.定义
堆(Heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵完全二叉树的数组对象。
2.性质
1.堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
2.堆总是一棵完全二叉树。
将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。常见的堆有二叉堆、斐波那契堆等。
堆是非线性数据结构，相当于一维数组，有两个直接后继。
3.应用思路（手写堆）
以最小堆为例
先把数组中的数储存起来
很显然最小的数就在堆顶，假设存储这个堆的数组叫做h的话，最小数就是h[1]。接下来，我们将堆顶的数删除，并将新增加的数23放到堆顶。显然加了新数后已经不符合最小堆的特性，我们需要将新增加的数调整到合适的位置。那如何调整呢？
我们可以将它和它的两个儿子进行比较，将儿子小的置为堆顶即可，然后依次下调
那如果是要新添加一个数，又如何操作呢？
同前面的，我们可以将新的点加到堆尾，然后上调与它的父节点比较即可。
代码
堆的操作(以大根堆为例)
关于小根堆的操作放在了文章后面。
1.堆的元素下调
void shiftdownmax(int x){
int t,flag=0;
while(x*2<=addmax&&flag==0){
if(maxn[x]<maxn[x*2])t=x*2;
else t=x;
if(x*2+1<=addmax){
if(maxn[t]<maxn[x*2+1])t=x*2+1;
}
if(t!=x){
swap(maxn[t],maxn[x]);
x=t;
}else flag=1;
}
}
2.堆的元素上调
void shiftdownmax(int x){
int t,flag=0;
while(x*2<=addmax&&flag==0){
if(maxn[x]<maxn[x*2])t=x*2;
else t=x;
if(x*2+1<=addmax){
if(maxn[t]<maxn[x*2+1])t=x*2+1;
}
if(t!=x){
swap(maxn[t],maxn[x]);
x=t;
}else flag=1;
}
}
3.建堆
由于堆的性质，只要调整一半的元素即可。
for(int i=1;i<=n;++i){
addmax++;
maxn[addmax]=a[i];
}
for(int i=addmax/2;i>=1;--i){
shiftdownmax(i);
}
4.取出元素
取出第一个元素将最后一个元素放在第一个元素的位置，并且元素个数减1，对堆顶进行下调操作。
int y=maxn[1];
maxn[1]=maxn[addmax--];
shiftdownmax(1);
5.加入元素
在堆尾加入新元素并且对其进行上调操作
maxn[++addmax]=x;
shiftupmax(addmax);
4.例题
合并果子
题意
在一个果园里，多多已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。多多决定把所有的果子合成一堆。
每一次合并，多多可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。可以看出，所有的果子经过n-1次合并之后，就只剩下一堆了。多多在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。
因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以多多在合并果子时要尽可能地节省体力。假定每个果子重量都为1，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使多多耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。
例如有3种果子，数目依次为1，2，9。可以先将1、2堆合并，新堆数目为3，耗费体力为3。接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为12，耗费体力为12。所以多多总共耗费体力=3+12=15。可以证明15为最小的体力耗费值。
思路阐述
堆的入门题，我们只要建立一个最小堆，然后依次取出堆顶2次，将其合并之后再放入堆中即可。
代码实现
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;
int n,a[100005],add,p,q,sum,ans=0;
void shiftdown(int x){
int t,flag=0;
while(x*2<=add && flag==0){
if(a[x]>a[x*2])t=x*2;
else t=x;
if(x*2+1<=add){
if(a[t]>a[x*2+1])t=x*2+1;
}
if(t!=x){
swap(a[t],a[x]);
x=t;
}else flag=1;
}
}
int main(){
scanf("%d",&n);
add=n;
for(int i=1;i<=n;++i){
scanf("%d",&a[i]);
}
for(int i=n/2;i>=1;i--){
shiftdown(i);
}
for(int i=1;i<=n-1;++i){
p=a[1];
a[1]=a[add];
add--;
shiftdown(1);
q=a[1];
sum=q+p;
a[1]=sum;
shiftdown(1);
ans=ans+sum;
}
printf("%d",ans);
return 0;
}
5.习题
6.关于堆的一些操作
1.小根堆向下调整
void shiftdownmin(int x){
int t,flag=0;
while(x*2<=addmin&&flag==0){
if(minn[x]>minn[x*2])t=x*2;
else t=x;
if(x*2+1<=addmin){
if(minn[t]>minn[x*2+1])t=x*2+1;
}
if(t!=x){
swap(minn[t],minn[x]);
x=t;
}else flag=1;
}
}
2.小根堆向上调整
void shiftupmin(int x) {
int flag=0;
if(x==1) return;
while(x!=1 && flag==0){
if(minn[x]<minn[x/2]) swap(minn[x],minn[x/2]);
else flag=1;
x=x/2;
}
}
3.大根堆向下调整
void shiftdownmax(int x){
int t,flag=0;
while(x*2<=addmax&&flag==0){
if(maxn[x]<maxn[x*2])t=x*2;
else t=x;
if(x*2+1<=addmax){
if(maxn[t]<maxn[x*2+1])t=x*2+1;
}
if(t!=x){
swap(maxn[t],maxn[x]);
x=t;
}else flag=1;
}
}
4.大根堆向上调整
void shiftupmax(int x) {
int flag=0;
if(x==1) return;
while(x!=1&&flag==0){
if(maxn[x]>maxn[x/2]) swap(maxn[x],maxn[x/2]);
else flag=1;
x=x/2;
}
}