《算法导论》学习总结 — 13. 第13章 红黑树(2)

插入结点用到了上一次BST的插入函数(做了一点添加)，并且在此基础上增加了保持红黑性质的调整函数。

还是先看看插入函数：

void RBTreeInsert(RBTree &T, int k)
{
	//T->parent->color = BLACK;
	Node *y = NULL;
	Node *x = T;
	Node *z = new Node;
	z->key = k;
	z->lchild = z->parent = z->rchild = NULL;

	while(x != NULL)
	{
		y = x;

		if(k < x->key)
			x = x->lchild;
		else
			x = x->rchild;
	}

	z->parent = y;
	if(y == NULL)
	{
		T = z;
		T->parent = NULL;
		T->parent->color = BLACK;
	}
	else
		if(k < y->key)
			y->lchild = z;
		else
			y->rchild = z;
	z->lchild = NULL;
	z->rchild = NULL;
	z->color = RED;
	RBInsertFixup(T, z);
}

和上一次的BST基本没区别，只是添加了对新加结点z的颜色和子节点的处理。

这里把z的颜色设置为红色，然后进行处理。

问：考虑为何把z的颜色设置为红色？

答：个人认为如果设置为黑色，则破坏了性质五，而性质五关于黑高度的问题，涉及到了整棵树，全局性难以把握，所以这里设置为红色，虽然破坏了性质4，然是相对破坏性质5来说，更容易恢复红黑性质。大家如果有不同的想法，也可以留言谈谈。

接下来，就是对整棵树的调整了。

答：考虑插入z结点后，破坏的哪几条红黑性质？

答：破坏了性质2和性质4.

5条红黑性质要熟记，我这里再贴出来：

1. 每个结点或是红色，或是是黑色。
2. 根结点是黑的。
3. 所有的叶结点(NULL)是黑色的。（NULL被视为一个哨兵结点，所有应该指向NULL的指针，都看成指向了NULL结点。）
4. 如果一个结点是红色的，则它的两个儿子节点都是黑色的。
5. 对每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑结点。

所以我们要做的就是恢复性质2和性质4.

先来看看具体实现的代码(这里只贴出部分代码)：

void RBInsertFixup(RBTree &T, Node *z)
{
	while(z->parent->color == RED)
	{
		if(z->parent == z->parent->parent->lchild)
		{
			Node *y = z->parent->parent->rchild;
			//////////// Case1 //////////////
			if(y->color == RED)
			{
				z->parent->color = BLACK;
				y->color = BLACK;
				z->parent->parent->color = RED;
				z = z->parent->parent;
			}
			else
			{
				////////////// Case 2 //////////////
				if(z == z->parent->rchild)
				{
					z = z->parent;
					LeftRotate(T, z);
				}
				////////////// Case 3 //////////////
				z->parent->color = BLACK;
				z->parent->parent->color = RED;
				RightRotate(T, z->parent->parent);
			}
		}
		else
		{
                                      ///////////////////////
		}
	}
	T->color = BLACK;
}

分三种情况，在代码中已用Case 1, Case 2, Case 3标记出。

大致说下判断情况：

1.首先让一个指针y指向z的叔父结点(z是要删除的结点)。

2.如果y的颜色是红色，Case 1。则使z的父亲结点和叔父结点的颜色改为黑，z的祖父结点颜色改为红。然后让z转移到z的祖父结点。

3.当y的颜色是黑色时，

①.首先判断z是否是其父亲结点的右儿子，若是，则调整为左儿子(用旋转)。

②.其次使z的父亲结点颜色为黑，z的祖父结点颜色为红，并以z的祖父结点为轴右旋。

具体我还是在草稿纸上画出。。。(可怜买不起数码相机，只能用手机拍了。。。)

（弱弱的问一句，看见网上有很多朋友做的一些代码讲解图很给力，不知道大家有什么软件吗？求推荐。。。）

以下是插入的完整代码：

void RBInsertFixup(RBTree &T, Node *z)
{
	while(z->parent->color == RED)
	{
		if(z->parent == z->parent->parent->lchild)
		{
			Node *y = z->parent->parent->rchild;
			//////////// Case1 //////////////
			if(y->color == RED)
			{
				z->parent->color = BLACK;
				y->color = BLACK;
				z->parent->parent->color = RED;
				z = z->parent->parent;
			}
			else
			{
				////////////// Case 2 //////////////
				if(z == z->parent->rchild)
				{
					z = z->parent;
					LeftRotate(T, z);
				}
				////////////// Case 3 //////////////
				z->parent->color = BLACK;
				z->parent->parent->color = RED;
				RightRotate(T, z->parent->parent);
			}
		}
		else
		{
			Node *y = z->parent->parent->lchild;
			if(y->color == RED)
			{
				z->parent->color = BLACK;
				y->color = BLACK;
				z->parent->parent->color = RED;
				z = z->parent->parent;
			}
			else
			{
				if(z == z->parent->lchild)
				{
					z = z->parent;
					RightRotate(T, z);
				}
				z->parent->color = BLACK;
				z->parent->parent->color = RED;
				LeftRotate(T, z->parent->parent);
			}
		}
	}
	T->color = BLACK;
}

void RBTreeInsert(RBTree &T, int k)
{
	//T->parent->color = BLACK;
	Node *y = NULL;
	Node *x = T;
	Node *z = new Node;
	z->key = k;
	z->lchild = z->parent = z->rchild = NULL;

	while(x != NULL)
	{
		y = x;

		if(k < x->key)
			x = x->lchild;
		else
			x = x->rchild;
	}

	z->parent = y;
	if(y == NULL)
	{
		T = z;
		T->parent = NULL;
		T->parent->color = BLACK;
	}
	else
		if(k < y->key)
			y->lchild = z;
		else
			y->rchild = z;
	z->lchild = NULL;
	z->rchild = NULL;
	z->color = RED;
	RBInsertFixup(T, z);
}